常微分方程式です

質問

y`=(y+x+1)/(y-x+1)の解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

分子分母が互いに似てるってところに目を付けて
g=y-x+1
とおいてみましょうかね。両辺をxで微分すると
g'=y'-1
であり、また
y'=(y+x+1)/(y-x+1)=1+2x/g
だから
g'=2x/g
である。つまり
gg'=2x
です。
さてここで
h=g^2
とおくと
g=√h　であるか　g=-√h
である。（これをg=±√hと書くことにしましょう。）で、hをxで微分すると
h'=2gg'
であるから
h'=4x
この微分方程式なら簡単ですね。
h=C+2(x^2)　（Cは積分定数）
である。そして
g=y-x+1
なんですから、
y=g+x-1
ゆえに
y=x-1±√(C+2(x^2))
ということになります。

では検算。実際にy'を計算してみましょう。
まず
±√(C+2(x^2))=y-x+1
である。これを準備しておいて
y'=1±(1/2)(4x)/√(C+2(x^2))
=1±(2x)/√(C+2(x^2))
=1+(2x)/(y-x+1)
=(y+x+1)/(y-x+1)

細かい吟味はさておきとりあえず解けた、ってかんじです。

回答No.1

mmky

y'=(y+x+1)/(y-x+1)
y'(y-x+1)=(y+x+1)
(y-x+1)dy=(y+x+1)dx
∫(y-x+1)dy=∫(y+x+1)dx
∫(y-x+1)dy=y＾2/2-xy+y+C1
∫(y+x+1)dx==yx+x＾2/2+x+C2
xyは共通であることを考慮すれば、解は以下と想定できる。
f(x,y)=(y＾2/2)-(x＾2/2)-xy+y-x+C=0
検算：
Δf={∂f(x,y)/∂y}∂y+{∂f(x,y)/∂x}∂x=0
{∂f(x,y)/∂y}∂y=-{∂f(x,y)/∂x}∂x
{∂f(x,y)/∂y}=y-x+1
{∂f(x,y)/∂x}=-x-y-1
∂y/∂x=-{∂f(x,y)/∂x}/{∂f(x,y)/∂y}=(y+x+1)/(y-x+1)
だから解は、
f(x,y)=(y＾2/2)-(x＾2/2)-xy+y-x+C=0
となるということかな。

参考程度まで