三角関数の合成

質問

3cosθ+４sinθ の最大値と そのときのcosθとsinθを求めよ。(０<θ<π/２)
という問いなのですが、最大値はπ/２+α=０のときに５としたのですがそのときのθについてもとめかたが分かりません。
恐らく合成の公式の使い方がよくわかってないと思います。そのことを踏まえて教えてくださる方お願いします。

回答No.1

fukuda-h · ベストアンサー

>最大値はπ/２+α=０のときに５としたのですが
ここが疑問です。

まず、合成して
3cosθ+４sinθ =5sin(θ+α)としますが条件を確認しておくことが大切です。
「ここで、sinα=3/5 cosα=4/5 ０<α<π/２とおける」
０<θ+α<πからθ+α＝π/2のとき最大値５をとる
このとき、最大値をとるθの値はθ＝π/2-αから
cosθ＝cos(π/2-α)=sinα
sinθ＝sin(π/2-α)=cosα
となってcosθとsinθの値が出てきます

お礼

理解できました！ありがとうございました。

回答No.2

mister_moonlight

合成は考え難いところがある。こんなのは、座標を使うと良い。
最大値だから合成でも良いが、これが最小値なら合成は考え難い。

cosθ＝x、sinθ ＝yとすると、x＾2＋y＾2＝1　‥‥(1)、x＞0、y＞0　‥‥(2)　の時、3x＋4y＝kの最大値を考えると良い。
それは、円：x＾2＋y＾2＝1と直線：3x＋4y＝k　‥‥(3)が接する時が、最大。
点（0、0）と直線：3x＋4y＝kが接するのは、点と直線との距離の公式より、｜k｜/5＝1の時。つまり、明らかに　k＞0よりk＝5.
後は、k＝5の時に、(1)と(3)を連立して解くだけ。

お礼

そういったアプローチもあるんですね。
ありがとうございました。