ケーキの分配法？

質問

ケーキが１つあります。これを２人で上手く分けるには、まず１人が同じ大きさになるように２つに切ります。次にもう１人が好きな方を取ります。こうすると、切った方は同じ大きさになるように切ったのですから、どちらを取られても文句は言えないわけです。
それでは、これが３人の場合やそれ以上の場合、どのようにすればいいのでしょうか？以前、解法を聞いたことがあるのですが忘れてしまいました。どなたか教えて下さい。

回答No.13

stomachman

nozomi500さん＜２人でケーキを分ける場合でも、切る方があれこれ考えなきゃならない分だけ、労力の損。選ぶ側の方が楽。
　これは昔から気になってた非対称性の問題なんですが、このスレッドを機会に改めて考えてみています。質問のご主旨から少し逸脱してはいますが...（回答#5の末尾をご参照下さい。）

　たしかに両者の価値観が同じなら、どっちが切っても同じ事ですから、切るだけ手間損ですね。
　しかし、それぞれの価値基準が異なっている場合にはどうでしょうか。「満足度」を数値化できたとして、切り方によって二人の満足度の和が異なることがあります。たとえば
A：苺ほしい。B：チョコ欲しい。
という状態の時に、苺もチョコも半分ずつになるように切るのは「満足度の和が最大」という意味で最適ではない。双方にとってもっと嬉しい切り方がある訳で、ちょっと比喩的にゲーム理論でいう「パレート最適」という言い方をしました。
　自分が切ればいろんな戦略が選べます。Aが切るなら
1：チョコが乗ってる小さいピースと、苺が乗ってる大きいピース。きっとBはチョコを選ぶだろう。どこまで小さくしても大丈夫だろうか？
2：チョコが乗ってる大きいピースと、苺が乗ってる小さいピース。Bの好みは分からないが、ともかくできるだけ確実に苺を全部取りたい。
3：チョコも苺も半分ずつ。ケーキ本体も半分ずつ。Bの好みは分からん。どっちでも半分満足でいいや。利益は半分だけどリスクはゼロ。
4：チョコまるごとと苺半分の小さいピースと、チョコなし苺半分の大きいピース。Bがどっちを取っても苺は半分確実に貰える。あとはBが大きさをとるかチョコを取るか。
などなど.....
　それに対して、選ぶ側は「もっと旨く切ってよー」と思っても、先に選ばせて貰う以上文句は言えない。

　このような場合、お互いに好みを「定量的に」表明して交渉するのが最適になります。そして切る前に、「どこをどう切って、どっちがどのピースを取るか」が既に合意出来ているなら誰が切ろうが同じ。でも、双方が譲らない場合に、初めてご質問の手順の出番です。ところが今度はどっちが切るかでにらみ合い。
　自分が切るか選ぶかについて双方の選択が同じであると、膠着状態になる。これはまだ解決できていません。（国際紛争なんてだいたいこんな構図じゃないでしょうか。）

　という訳で「切る作業」を手間と考えるか権利と考えるか、によって話は違ってくる。しかも現実の問題ではケーキは必ずしも１個じゃない（次もある）訳でして、平均として得をするための戦略や、何度か相手の価値観を測る戦略もある。もとのご質問とは関係なくなってしまうけれど、一般に協力ゲームの問題として定式化できないものか、と思っています。

　なお、某国が企業に油田試掘権を売るとき、２セットの油井を準備させて、その好きな方を国が取るんだ、という話を聞いたことがあります。やっぱり選ぶだけの方が楽ちんではあるけれど、細かいところまで調査をやることは難しい。一方、企業側はいろいろな要因（埋蔵量、採掘コスト、品質、付属設備、付帯条件etc）を調整して、博打に出たり、安全な戦略を取ったり、好きに画策をやれます。

　なんだかまとまりがなくなってしまいましたが、とりあえず観点だけ提出しておきます。