４本足のイスと３本足のイス

質問

いつだったかの数学の教科書に

「４本足のイスは、不安定になりガタガタなることがあるが、３本足のイスはガタガタすることはないのはなぜか？」

といったような問題がありました。

言われてみればそのとおりなんですが、これは数学的にはどんな答えになるんでしょうか？
長い間の謎でした。

回答No.3

oolong_tea13 · ベストアンサー

空間において，3点がいずれも重なっていない条件の時，3点を通る平面（これが床になりますね）は必ず存在する．
だから3本足のイスは，たとえ斜めになっていてもガタガタしません．

しかし，4点を通る平面ということになると，4点目が他の3点を通る平面上になくてはいけません．
ですから，4点目が他の3点を通る平面上にあれば4点とも1つの平面上（床）にありますから，イスはガタガタしません．
4点目が他の3点を通る平面上になければ，1点だけ浮いた状態になるためイスはガタガタします．

つまり，「空間において3点を通る平面は必ず存在するが，4点を通る平面が必ず存在するとは限らない」ということになります．
いかがでしょうか．

お礼

回答ありがとうございます。

落ち着いて考えればわかることなのかも知れないのですが、そこまでのアタマが・・・。

回答No.7

linus3030

まったく別の場所に原点をとり
XYZの直行座標系を考えると
平面の式は
ax + by + cz = 1
となります。（厳密には原点を通らない任意の平面）

でここに３点の座標を
(x1,y1,z1)(x2,y2,z2)(3x,3y,3z)
が満たすように a,b,c を定めることはできるが
（連立方程式になる）

(x4,y4,z4)が追加されると連立方程式が
解なしになる場合がでます。

お礼

回答ありがとうございます。
座標で考える事までは気付きませんでした。

回答No.6

noname#3002

平面にイスを置いたとき、イスのそれぞれの足の先端が地面との接点になります。異なる3つの点を結ぶと必ず1つ平面ができます(数学的)。そのため、地面(平面)にイスを置くには3点で十分です。
ここで4つ目の点(足)が出てきた場合、この平面状に4つ目の点があった場合はいいのですが、少しでもずれていると、この4点では平面を形成することができなくなります。イスの製造過程で厳密に4点で平面を作れれば問題はないですが、そんなことは難しく、結果として、4本足のイスはガタガタするということになります。
ただ、『安定』と『ガタガタしない』は厳密には別です。
例えば4本足のイスの足を1本取って3本にしてしまっても、ガタガタはしませんが、安定して立っていることはできません。
これは、このイスの重心がこの3点の三角形の中に入っていないため、倒れてしまうのです。
「安定」という話であれば、地面についている点を結んだ面積の大きさ（3本足のイスは三角形、4本足のイスは四角形）と、その物体の重心の「位置と高さ」で決まることになります。物体の重心は先の図形の重心に近ければ近いほど、低ければ低いほど安定します。

お礼

回答ありがとうございます。
確かに「ガタガタ」と「安定」は別モノですね。
平面としてとらえればよかったんですね。

回答No.5

ymmasayan

数学的とはいいにくい答えですが、
空間にある３点を含む平面は必ず存在するが
４点の場合、これを全て含む平面が存在するとは限らない。

ということではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。
言われてみればその通りですね。
またよろしくお願いします。

回答No.4

old98best

いろいろな考え方がありますが、広く使用されている説明は、幾何学です。
「直線上ではない任意の３つの点を含む平面は、ただ１つだけ必ず存在する」
逆に言うと。平面に対して３つの点は、必ず１つの位置（状態）で接するというわけです。
これが４本足になると、「直線上に３つ以上の点が無い」という前提で、
任意の４つの点を含む平面は、ただ１つ存在するか、または絶対に存在しない」となります。
実際には１ミリとかそれ以下のすきまは分からない床や足の構造ですけど、理論的には４つの足の先端が平面の床に同時に４個接するのは奇跡という事になります。
ちなみに、これはユークリッド幾何学ですが、私たちの生活する空間ですからユークリッド幾何学でＯＫです。

お礼

回答ありがとうございます。
「ユークリッド幾何学」は初めて聞きました。
もっと勉強する事にします。

回答No.2

NIWAKA_0

「平面」の最小構成が、三角形だからです。

逆に言えば一直線上にない３点は必ず「平面」を構成することになります。
んで、安定するんですね。

４本足で４本の足の先が１平面上に無いと
「三角形２つ」の２平面を行ったり来たりするおでガタガタするのです。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど～。
詳しい解説ありがとうございます。

回答No.1

ken-oo

数学的に言えば、

３つの任意の点を包含する１つの平面は常に存在するが、
４つの任意の点を包含する１つの平面は必ずしも存在しない。

と、いうことだと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

これは、何かの法則なんでしょうか。
意外と難しい答えなんですね。