音のした時間差から砂粒が落ちた場所を調べる

質問

均一な金属板に振動センサーを取り付けて、
金属板に落ちた砂粒の場所を調べる、という方法を考えています。

とりあえず、センサーが３カ所あれば二次元の座標が特定できるか？
と思って考えているのですが・・・

三つのセンサーの座標をそれぞれ(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)として、
金属板を振動が伝わる速度をv、
砂粒が落ちた座標を(X,Y)とすると・・・

砂粒が落ちてから各センサーに振動が届く時間t1,t2,t3は、
sqrt( (x1-X)^2 + (y1-Y)^2 ) / v = t1
sqrt( (x2-X)^2 + (y2-Y)^2 ) / v = t2
sqrt( (x3-X)^2 + (y3-Y)^2 ) / v = t3
と、ここまでは簡単に判ったのですが、

問題は、いつ落ちたかが判らないのです。
そこでとりあえず、センサー１で検出した時間を基準にして・・・と思って、

sqrt( (x1-X)^2 + (y1-Y)^2 ) / v - t1 = 0
sqrt( (x2-X)^2 + (y2-Y)^2 ) / v - t1 = d2
sqrt( (x3-X)^2 + (y3-Y)^2 ) / v - t1 = d3

（d2,d3はセンサー１に対して、それぞれセンサー２、３で検出した時間差）
これを連立方程式にして、maximaに掛けてみたのですが、
どういうわけか
[ ]
なんて、空っぽの答えしか出てきません。

そもそも考え方が間違ってるんでしょうか。。？

回答No.5

pascal3141 · ベストアンサー

まるで地震計の３点の測定から、震央を出す問題のようですね。地震の場合は、初期微動継続時間が距離に比例することを使えますが。
さて、今の問題では、落ちた時間が最初の式の中に入っていませんので出せません。そこで、落ちた時間をt0として、t1,t2,t3は測定開始からの時間とします。すると
sqrt( (x1-X)^2 + (y1-Y)^2 ) / v = t1-t0
sqrt( (x2-X)^2 + (y2-Y)^2 ) / v = t2-t0
sqrt( (x3-X)^2 + (y3-Y)^2 ) / v = t3-t0
となり、未知数x,y,t0３つ、式３つで原則的には出そうですが。

お礼

補足が一つしか付けられないので、お礼にて・・・
試しに両辺を二乗してmaximaに掛けてみたら、こんどは
解なしではなくて、複雑すぎて回答不能になりました。
意外と使えんmaximaです。。（＾＾；
確かに、地震計と同じですね。
だとするとどこかに、参考になりそうな資料とかないものでしょうか。。

補足

なるほど確かに、t0が抜けていました！
で、早速、未知数X,Y,t0でmaximaに掛けてみましたが・・・
やっぱりダメでした。orz
複雑すぎて回答不可能とか、エラーでもなく、
即答で解なし、です。
やっぱり何かが違うのでしょうか・・・

回答No.4

noname#111804

ｔ１、ｔ２、ｔ３は実際では数値ですが
それを変数にしたために、変数が多すぎて
方程式が解けなかったのでは？

回答No.3

eroermine

GPSの問題と似てますね。
なぜGPSが四つの衛星を受信すると位置と時間がわかるのかと自称数学通の人に聞くとなんかわかったような答えが返ってきます。
ちなみに地表面を仮定すると衛星は三つでOK とGPSの説明書にはあります。

GPSができたころやってみたけど難しすぎ。
最近は産経新聞で鉢巻の数学者が子供向けのコラムでてきとーなこと書いてた。

回答No.2

c_850871

Pholiotaさん，今日は．
いや今晩は，かも知れません．(笑)

面白い実験ですね．

Pholiotaさんをご納得させられる回答ではないと思いますが，センサー1で検出した時間というのは砂の落下位置とその距離の条件によって異なりますから，基準化しても意味を成さないのは感覚的にお分かり頂けると思います．
すなわち，いつ落ちたかを判断するには，結局3次元空間上でないと絶対的な基準を定めることが出来ないと私は考えます．

ご参考になりましたら．

回答No.1

noname#227064

センサーの位置にしろ時間にしろ誤差を含んだ数値と思いますので、必ず解ける連立方程式になるとは限りません。

> sqrt( (x1-X)^2 + (y1-Y)^2 ) / v = t1
> sqrt( (x2-X)^2 + (y2-Y)^2 ) / v = t2
> sqrt( (x3-X)^2 + (y3-Y)^2 ) / v = t3

つまり、この三つの方程式の1つの点で交わることはまずないでしょう。
3つの方程式から2つずつ選んで、3通りの交点を求めてその重心を砂粒が落ちた場所とするのはどうでしょうか？

補足

確かに、
ちょっとでも誤差があると解が出なくなりそうな気もしますね。。