この不定積分が解けません

質問

1/acos^2x＋bsin^2x 　どなたかよろしくお願いします。

回答No.3

info22

#2です。
>ab<0なら　
>積分I=[log{(2b*tan(x)-2√(-ab))/(2b*tan(x)-2√(-ab))}/{2√(-ab)}]+C

の中の符号に一箇所誤植がありましたので次の通り訂正します。

ab<0なら
積分I=[log{(2b*tan(x)-2√(-ab))/(2b*tan(x)+2√(-ab))}/{2√(-ab)}]+C

お礼

申し訳ないです。かっこをつけ忘れていました。以後気を付けます。解答していただきありがとうございました。

回答No.2

info22

> 1/acos^2x＋bsin^2x
質問する場合は質問の式が正しく伝わるように、多重括弧を使って書いてください。

1/(a*cos^2(x)＋b*sin^2(x))
↑この式でいいですか？

質問に文字定数を使う場合は、文字定数の符号（や大小関係）の条件をつけて頂かないと
場合わけが発生してしまいます。自分でちゃんとやってから質問していただかないと場合わけにも気がつかず、回答者に余分な手間をかけます。

質問の文字定数に対して
a>0,b>0
a>0,b<0
a<0,b>0
a<0,b<0
a=0,b≠0
b=0,a≠0
などに場合わけして質問すべきでしょう。
上の４つのケースは最終的には以下の２つにまとめられます。
ab>0
ab<0

たとえば
ab>0なら　積分I=[arctan{(b*tan(x))/√(ab)}/√(ab)]+C
ab<0なら　積分I=[log{(2b*tan(x)-2√(-ab))/(2b*tan(x)-2√(-ab))}/{2√(-ab)}]+C
となります。

a=0の場合やb=0の場合も含め、各場合について場合分けするか、
それぞれの場合についてa,bに具体的に数値を与えるかして
自力で実際に積分してみてください。

質問する場合は、ちゃんと場合分けして解答をつくり、補足に書いて質問してください。

お礼

すいませんでした。　a>0, b>0でした。　以後わかりやすい質問をするように気を付けます。

回答No.1

tonsaku

cosとsinの係数が同じならめちゃくちゃ簡単ですよね。それに近づけていきましょう。

　∫ 1 / ( a(cosx)^2 + b(sinx)^2 ) dx

まずは分母を(cosx)^2でくくります。

　∫ {1/( a + b(tanx)^2 )}・{1/(cosx)^2}dx

ここで、b(tanx)^2 が a(tanθ)^2 になってくれれば簡単です。
そうしちゃいましょう。"tanx=√(a/b)tanθ" とします。
dx/(cosx)^2 = √(a/b)・dθ/(cosθ)^2 となるので、

　∫ {1/( a + b(tanθ)^2 )}・√(a/b)・{1/(cosθ)^2} dθ
=∫ {1/√(ab)}・(cosθ)^2・{1/(cosθ)^2} dθ
= {1/√(ab)} ∫dθ
= {1/√(ab)} θ
= {1/√(ab)} Arctan( √(b/a)tanx )

これでどうでしょう？

お礼

tanx=√a/btanθとおくところに納得させられました。丁寧な解答ありがとうございました。　助かりましたm(__)m