梁がたわんだ時の梁の重心位置について

質問

片持ち梁のたわんだ時の重心位置を求めて、その重心位置に関する運動方程式を導出したいと考えているのですが、そもそもたわんだ瞬間の梁の重心位置を求めることは可能なのでしょうか？

現段階では
・たわみ角（もしくはたわみ変位）に依存して重心位置が変化する
と考えて試行錯誤していますが、皆目見当も付きません。

上記の件で詳しい方がいらっしゃいましたら是非よろしくお願いします。

回答No.2

my3027

まず重心の概念は下記HP参照下さい。

あとx、y軸を水平に動くというのはxy平面内を動くという理解で良いでしょうか？それとz軸が上下方向で、回転は等角速度で質量mによる遠心力は働かず、重力だけが作用し捻りは無しとします。その場合、梁の変形はｚ軸方向だけになるので、梁の対象性から求めるのはzと梁長手方向座標だけになります。

曲がった梁の形状は、オイラーベルヌーイ梁を使えば、4次関数かそれ以下のpolynomialになります。上述の式から、たわみ曲線を４回積分して求め、境界条件から積分定数を決定して下さい。これで変形後の梁形状の関数が求まったので、後は仮想重心座標から、この変形後の梁関数に厚みを考慮した面積内の微小部分を全面積積分し、z軸と長手方向軸からのモーメント総和が0となる部分を求めれば良いと思います。その際、先端に重りがあるのでそれを入れるのを忘れないで下さい。

以上は非常に複雑な計算になります。運動解析と構造解析を併せて解析するアダムスというソフト等ありますので、それでモデルを作るという手も有ります。あとアームの先端にmがあるとの事ですが、何かその影響で梁が上下方向以外にも曲がる(角加速度を持つ)気がします。梁の剛性と重りの関係が分からないので何ともいえませんが、影響しそうな因子を再検討し、影響なさそうな因子は除外したモデルにしないと、複雑な計算だけして結果は簡易モデルと大差ないという結果になりそうな気がしますので参考に。

参考URL：

http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/CG/

回答No.1

my3027

そもそもたわんだ瞬間の梁の重心位置を求めることは可能なのでしょうか？
＞どの様な形状でも、重心を求める事は可能です。仮想重心（x,y,z)から、微小体積重量との距離を体積積分して0になる点を探せば良いのではないでしょうか？未知数３で各3軸のモーメント釣り合い式が出来るので原理的には求めらるはずと思います。また、運動方程式を求めたいのであれば、変分法でL=T-Vでラグラジアンを求めてオイラー方程式で解いたほうが歪エネルギと運動エネルギーの話になり簡単なのではないでしょうか？物理モデルが片持ち梁が固定されているのか、それ自体も動きながら撓むのか判らないので何ともいえませんが。。。

ただ、弾性限度内の梁の変形など微小過ぎで大差ないと思いますよ。弾性限度なんて1mの棒が1mm伸びる以下の変形です。曲げ変形でも余程長い梁でないと無視出来ると思います。

補足

ありがとうございます！
返信遅れて大変申し訳ございません。
こんな早く解法いただけるとは思ってもみなかったので・・

現在、１リンクのフレキシブルロボットアームの逆動力学モデルを導出しようと試みています。たわまない場合（堅いアーム）については過去にやったことがあるのですが、今回「たわむ」という状況で混乱しています。梁の運動方程式を元にした文献が様々ありましたが、梁についての知識が浅く、頓挫している状態です。
my3027さんのおっしゃる通り、エネルギー→ラグランジュ法からも攻めていきたいと思います。

ただ、重心位置の方からも攻めていきたいと考えてますので非常に恐縮なのですが「仮想重心（x,y,z)から、微小体積重量との距離を体積積分して0になる点を探せば良い」の詳しい例を示していただけると幸いです。

条件として
・xy軸を水平に動くアーム
・アームの先端には質量mがくっついている状態
・今は軸については固定されているものとして考えています。

正直、上記の条件も実際正しいのかどうかも疑わしい状況です。
勉強不足による駄文で申し訳ございません。
よろしくお願いします。