数列の合計と、式の書き方を教えてください

質問

１＋１／(１＋２)＋１／(１＋２＋３)＋１／(１＋２＋３＋４)＋・・・・
つまり１＋１／３＋１／６＋１／１０＋・・・・
を求めたいのですが、いちから詳しく教えてください。
よろしくお願いします。

以下、自分で考えたところです。

数列は、分母が１、１＋２、１＋２＋３、１＋２＋３＋４・・・だから
階差が２，３，４、・・・・・・
そのまた階差は１,１,１,１・・・
ここからどうやっていいかわからず、適当に考えて
偶然ｎ(ｎ＋１)／２であらわせると気づきました。
なぜかが分かりません。
Ｓｎ＝Σｎ(ｎ＋１)／２　という表記でよいのでしょうか？
よく覚えていません。
そしてここからどうやって答えが出るか分かりません。

よろしくお願いします。

回答No.4

carvelo · ベストアンサー

こんにちは。

＞数列分母が
＞k(k+1)/2

分母は自然数の和になっていますね。
これについては公式として覚えてしまってもいい内容ですが、ちょっと詳しく書くと、１からｎまでの自然数の和をSnとするとき

Sn=1+2+3+…+n
Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+1

と二通りにかけますね。この辺々を足し合わせると

2Sn=(n+1)+(n+1)+…+(n+1)

となって、(n+1)という項をn回足し合わせたものになります。ですから

Sn=n(n+1)/2

です。

＞1/k(k+1) ＝ 1/k-1/(k+1)

1/(k+a)(k+b)

という式があったら

1/(k+a)(k+b) = A/(k+a)+B/(k+b)

という形に分解することが出来ます。このときのA、Bは

A/(k+a)+B/(k+b) = {A(k+b)+B(k+a)}/(k+a)(k+b)

の計算から逆算します。今の場合は

1/k(k+1) = A/k+B/(k+1) = {A(k+1)+Bk}/k(k+1)

ですから、A=1、B=-1とすればいいですね。

お礼

すみません、わかりました。
1/k-1/(k+1)
を
1/(k-1)/(k+1)
とずっと勘違いしていました。

補足

ありがとうございます。
前半は分かりました。理解できました。
後半は、Ａ＝１、Ｂ＝－１というのが、１／ｋ(ｋ＋１)につながる話だというのは分かったのですが、それがどうして 1/k-1/(k+1)につながるのか分かりません。

回答No.3

pu-san77

>数列分母が
>k(k+1)/2
1+2+・・・+k=Σ[k=1,n]k=k(k+1)/2
教科書に公式として載ってると思います。
初項=1、公差=1の等差数列の和と考えてもよいです。

>2/k(k+1)＝1/k-1/(k+1)
>のところを詳しく教えてもらえませんか？
1/k(k+1)＝1/k-1/(k+1)
です。
Σ[k=1,n]CAk=CΣ[k=1,n]Ak(伝わりますか？)
なので、
Σ[k=1→n]2/k(k+1)
=２Σ[k=1→n]{1/k(k+1)}

1/k(k+1)=1/k-1/(k+1)
数列において分数の掛け算の形になったら、分数の引き算の形ににするとよいので、上記のような変形になります。
(右項を計算したら、左項になりますね)

お礼

すみません、わかりました。
1/k-1/(k+1)
を
1/(k-1)/(k+1)
とずっと勘違いしていました。

補足

ありがとうございます
高校を卒業してかなり年月が経っているため、教科書が無く、質問をたてさせてもらっています。
せっかく書き込みを頂きましたが、いまいち分かりません。

回答No.2

info22

k項目の分母 = 1+2+ ... +k = k(k+1)/2
>
Sn=Σ[k=1,n] [1/{k(k+1)/2}
=Σ[k=1,n] [2/{k(k+1)}
=Σ[k=1,n] 2{1/k-1/(k+1)}
= 2{1-(1/2)}+2{(1/2)-(1/3)}+2{(1/3)-(1/4)}+ ... +2{(1/(n-1))-(1/n)}
= 2{1-(1/n)}
lim[n→∞] Sn = 2(1-0) = 2 …(答)

お礼

ありがとうございました

補足

数列分母が
k(k+1)/2
で表せるようになる所と
2/k(k+1)＝1/k-1/(k+1)
のところを詳しく教えてもらえませんか？

回答No.1

fukuda-h

>Ｓｎ＝Σｎ(ｎ＋１)／２　という表記でよいのでしょうか？
だめですね。1/｛ｎ(ｎ＋１)／２｝と逆数になりますね。

分母は1+2+3+・・・・・+ｋ=k(k+1)/2ですから
Σ(k=1→n）1/[k(k+1)/2]=Σ(k=1→n）2/k(k+1)
ここからは部分分数ですね
1/k(k+1)=1/k-1/(k+1)を使って
Σ(k=1→n）2/k(k+1)=2Σ(k=1→n）1/k(k+1)=2Σ(k=1→n）{1/k-1/(k+1)}
k=1,2,3,・・・・を代入して
=2{1-1/(n+1)}
こんな調子でしょうね

お礼

ありがとうございました

補足

数列分母が
k(k+1)/2
で表せるようになる所と
2/k(k+1)＝1/k-1/(k+1)
のところを詳しく教えてもらえませんか？