角が等しいことの証明

質問

AB=ACである二等辺三角形ABCを考える。辺ABの中点ををMとし、辺ABを延長した直線上に点Nを、AN:NB=2:1となるようにする。このとき、角BCM=角BCNとなることを示せ。ただし、点Nは辺AB上にないものとする。(京大文系数学2008)

座標による解法を試みたので、ミスがないか、見てください。

Cを原点にとる。
Bの座標を(-b,0),Aのy座標をaとする。
題意より、A(-b/2,a),B(-b,0),M(-3b/4,a/2),N(-3b/2,-2a)とわかる。
よって、直線MCの傾きは-2a/3bとなり、これをtanXとおく。(Xは正の部分のx軸から直線MCまでの角度とした)また直線NCの傾きは2a/3bとなり、これをtanYとおく。(Yは正の部分のx軸から直線NCまでの角度とした)
角BCM=tan(180-X)=-tanX=2a/3b,角BCN=tan(Y-180)=tanY=2a/3b
証明終わり

題意より、の部分は与えられた比を使って図を書けば、分かるのですが、説明不足ではないかと心配です。

あと、ベクトルによる解法もあるらしいのですが、思いつきません。
それも教えていただけると嬉しいです。

よろしくお願いします。

回答No.2

mister_moonlight

座標を使うなら、一般性を失わない限りで具体的な数値を使うと良い。

Ｂ（0、0）、Ｃ（2、0）、Ａ（1、α）と置ける。但し、α＞0.
直線ＡＢの方程式はy＝αx。Ｎ（β、αβ）（β＜0）とすると、ＡＮ＝2ＮＢから、（単純に、点と点の距離の公式から）β＝-1、or、1/3。
β＜0より、Ｎ（-1、-α）であるから、Ｍ（1/2、α/2）である事により、tan∠ＢＣＭ＝-（α/3）、tan∠ＢＣＮ＝α/3.
以上より、題意の通り証明された。

回答No.1

Ichitsubo

まあ、方向性としては合ってますね。
ただ、∠BCM＝tan(180-X)……の部分はおかしな表現になっています。
∠BCM＝180°-Xとなるべきではありませんか？

同様にACの延長線上に点KをAK:KC=2:1となるようにとると
線分MCと線分BKについて、
△BCNと△CBKについて、
それぞれ示すとそんなに難しくなく出てくるはず。