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角が等しいことの証明

AB=ACである二等辺三角形ABCを考える。辺ABの中点ををMとし、辺ABを延長した直線上に点Nを、AN:NB=2:1となるようにする。このとき、角BCM=角BCNとなることを示せ。ただし、点Nは辺AB上にないものとする。(京大文系数学2008) 座標による解法を試みたので、ミスがないか、見てください。 Cを原点にとる。 Bの座標を(-b,0),Aのy座標をaとする。 題意より、A(-b/2,a),B(-b,0),M(-3b/4,a/2),N(-3b/2,-2a)とわかる。 よって、直線MCの傾きは-2a/3bとなり、これをtanXとおく。(Xは正の部分のx軸から直線MCまでの角度とした)また直線NCの傾きは2a/3bとなり、これをtanYとおく。(Yは正の部分のx軸から直線NCまでの角度とした) 角BCM=tan(180-X)=-tanX=2a/3b,角BCN=tan(Y-180)=tanY=2a/3b 証明終わり 題意より、の部分は与えられた比を使って図を書けば、分かるのですが、説明不足ではないかと心配です。 あと、ベクトルによる解法もあるらしいのですが、思いつきません。 それも教えていただけると嬉しいです。 よろしくお願いします。

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みんなの回答

  • 回答No.2

座標を使うなら、一般性を失わない限りで具体的な数値を使うと良い。 B(0、0)、C(2、0)、A(1、α)と置ける。但し、α>0. 直線ABの方程式はy=αx。N(β、αβ)(β<0)とすると、AN=2NBから、(単純に、点と点の距離の公式から)β=-1、or、1/3。 β<0より、N(-1、-α)であるから、M(1/2、α/2)である事により、tan∠BCM=-(α/3)、tan∠BCN=α/3. 以上より、題意の通り証明された。

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  • 回答No.1

まあ、方向性としては合ってますね。 ただ、∠BCM=tan(180-X)……の部分はおかしな表現になっています。 ∠BCM=180°-Xとなるべきではありませんか? 同様にACの延長線上に点KをAK:KC=2:1となるようにとると 線分MCと線分BKについて、 △BCNと△CBKについて、 それぞれ示すとそんなに難しくなく出てくるはず。

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