出生死滅過程についての質問です。

質問

大学の授業で出生死滅過程のレポートが出たらしいのですが、その日だけ休んでしまい解き方が全くわからないんです。
ですので、簡単な問題な気はしますが教えていただけると嬉しいです。
このレポートを出さないと単位が出ないらしいので（涙

問い　出生死滅過程において定常解のとき

(λ＋μ)Ｐｋ＝λＰｋ－１＋μＰｋ＋１

λＰ０＝μＰ１

Ｐ０＋Ｐ１＋…＋Ｐｋ＝１

っていう式が成り立つ中で、これを解いて、Ｐ０、Ｐ１、Ｐｋ を求めろ。

というものです。
金曜までに提出しないといけないらしいのでできれば明日までに返事いただけると嬉しいです。

回答No.3

rabbit_cat

詳細釣り合い条件 を使えば、まじめに３項間漸化式を解くのよりずっと楽に求められます。
けど、授業休んでて知らない＆時間もない、ってことなら、＃２さんのように高校の知識で地道に解くしかないかな。

詳細釣り合い条件とは、出生死滅過程、定常解では、
λＰk＝μＰk+1
全てのｋについて成り立つという定理です。
λＰ０＝μＰ１
が成り立つのはすでに問題文に条件として与えられてますが、これが、実は、（ｋ＝０だけではなくて）全てのｋで成り立つということです。

「詳細釣り合い」で検索しても、いいページがでてこないですね。日本語Wikipediaの記述はいまいちですし。教科書をみてください。

お礼

そういう条件があるんですか。
教えていただきありがとうございます。
この授業は教科書はなくて配布資料でいつも授業を行なっているんですよ。
ですので、そのとき休んだためそこだけ資料がなくて困っていたんです（汗

回答No.2

arrysthmia

その課題には、出生死滅過程の方程式も、定常解の条件も、何の関係もない。
ただ、三項間漸化式を解くだけだ。

(λ+μ) P[k] = λ P[k-1] + μ P[k+1] を線型漸化式と見て、解けば、
P[k] が、k と P[0] と P[1] を含む式で表される。
λ P[0] = μ P[1] を使えば、そこから P[1] が消去できる。
そうして出来た P[k] の一般項を表す式を、
P[0] + P[1] + … + P[n] = 1 へ代入すれば、P[0] についての方程式が得られる。
P[0] を求めて、一般項の式へ戻してやればオシマイ。

ひたすら計算すべし。

お礼

漸化式ですか！！！
言葉の難しさでわからないとお手上げしてしまっていました。
少し頑張ってみます。
わざわざありがとうございました。

回答No.1

ushioni

以下、自信ないけど、それでもよければ。

少し眺めてると
λP[n]=μP[n+1]
になることに気づくので、
P[k]=P[0]*(λ/μ)^k

てことは、
ΣP[n]=P[0]Σ(λ/μ)^n=P[0]*{1-(λ/μ)^(k+1)}/{1-(λ/μ)}=1
だから
P[0]={1-(λ/μ)}/{1-(λ/μ)^(k+1)}
P[1]はP[0]のλ/μ倍、P[k]はP[0]の(λ/μ)^k倍だから代入して終了。

まちがってたらごめん。

お礼

わざわざ解いていただきありがとうございます。
これを見ながら自分でも理解していきたいと思います。