１／∞

質問

よく、０．９９９・・・＝１なのか。
という議論がされていますが、これと
１／∞＝０とはまったく別物になるのでしょうか。

回答No.8

ojisan7 · ベストアンサー

０．９９９・・・は確定した（ユニークに定まる）数値です。小数点以下のどの位も９です。この数値のどこにも、曖昧なところがありません。そして、数学的にも０．９９９・・・＝１となります。これは、極限値というよりも、コーシー列の完備性から導かれる性質です。

これに対して、１／∞はなんでしょうか？それは数値ではありませんね。∞が何なのかがよく分かりません（∞ってユニークでしょうか？？？）。しかし、lim[n→∞]1/nとするとlim[n→∞]1/n=0となります。この式には等号が用いられていますが、これは、ただ単に、n→∞⇒1/n→0という内容の略記表現にすぎません。ですから、この場合は、極限値という意味で０に「等しい」のです。極端な話、この場限りの定義で、lim[n→∞]1/n=1/∞とすることも可能です。そうすれば、1/∞=0となります。でもこれは、この場限りの定義ですから、数学的には何の意味もありません。

ここで念のために補足しますが、
lim[n→∞]1/n=0
これは、正しい式ですが、この両辺にnをかけて
n*lim[n→∞]1/n=n*0
より、
1=0
とすると、おかしなことになってしまいます。nとlimは交換可能ではありませんから、このような計算は許されません。

補足

遅くなってしまい申し訳ありません。

lim[n→∞]1/n=0
でｎが∞に近づくと１／∞が０になる（近づく？）。

１／∞　だけだと∞がどんな値になっているかわからないから、１／∞が０になるとは限らない。

という理解でいいでしょうか？

回答No.7

kabaokaba

＞0.9999‥=1は、これとは違います。
＞これと同じ意味で1=0.9999‥とは書きません。
普通に書かれます．

0.9999・・・そのものが一番単純には
0.9+0.09+0.009+・・・の極限の略記で確定した値なので
「=」は普通の意味での「=」です。
したがって，
a=1, 1=a が同じであるのと同じ意味で
1=0.999.....，0.99999....=1
です．

＃ついでにいうと，
＃0.999....=0.9+0.09+0.009+・・・
＃と考えるのが一番単純でいいのですが，
＃0.999....=0.09090909.....+0.909090+.......
＃のように違う和にしたっていいのです．
＃和の形をかえたって
＃0.9+0.09+0.009+・・・=0.09090909.....+0.909090+.......=1
＃は普通の意味での「=」です

翻って
1/∞の場合，無限には種類というか速度というか
そういう側面があるので
一概に
1/∞ = limit of 1/n{n→∞}=0
のようには言い切れないですし，
そもそも「1/∞」が何が何だか不明なものなので
最初の（左の）「=」は普通の意味からは逸脱します．

つまり，まだまだ
1/∞ は標語的なシンボルにすぎず
数学の土俵にはのれてないのです．

回答No.6

Ishiwara

別物ではありません。同じ趣旨のものです。
A=Bは、一般にB=Aと同じ意味ですが、
0.9999‥=1は、これとは違います。
これと同じ意味で1=0.9999‥とは書きません。
0.9999‥＝1は、
limit of (0.9＋0.09＋0.009‥) is １
と書くべきところを略式に書いたもの、と考えるべきでしょう。
同様に
1/∞=0は
limit of 1/(1+1+1+‥）=0
limit of 1/n{n→∞}=0
の意味です。

回答No.5

koko_u_

>どのような普通の実数 a よりも大きい 「∞」 というものが存在する。
>この要素 「∞」 を (正の) 無限大 infinity という。

当然、それでは定義になっていません。次の点を明確にしなければいけません。

1. どのような実数よりも大きいということは、∞ は実数ではないのですね。それでは何なのでしょうか？

2. 実数でないとすると「大きい」ということ自体も定義を必要とします。同様に割り算にも定義が必要です。

3. ∞ が存在するとして、それはユニークに定まるものですか。

補足

遅くなって申し訳ありません。

∞の（正確な？）定義とはどのようになるのでしょうか。
平易な文章で説明頂けないでしょうか。

回答No.4

arrysthmia

No.1 No.3 の方々が書いておられる通りなのですが、
世の中には、
『lim[x→a] f(x) が ∞ へ発散するならば、
　lim[x→a] 1/f(x) は 0 に収束する』という事実を、
「直観的」の名の下に 1/∞ = 0 と書いて憚らない
人種が、案外多いものです。
その手合いにとっては、0.999… = 1 も、1/∞ = 0 も、
「無限小とはゼロのこと」という意味では、
同じものに過ぎないのでしょう。
「1/∞ = 0」を考えるとき、∞ の定義もさることながら、
この式の = は如何なる意味か？も詮議しないといけない
のかも知れません。

補足

この式の = は如何なる意味か？も詮議しないといけない
のかも知れません。

この文章の意味は「＝」が「等しい」を意味しているのか、
「＝」が「近づく」を意味しているのか、ということでしょうか。

回答No.3

kabaokaba

「∞」ってのが，大抵の人が直観として感じているような概念を
表すものであるならば，
この二つは全くの別物です．

0.9999・・・というのは
0,9+0.009+0.0009+・・・と足していったときに
その値が近づいていく「先」を表すことの略記であって
＞０．９９９・・・＝１
というのは，近づく先が1であることを意味する式です．

一方，「∞」はそもそも数ではなく，
また安易に数として扱うと問題があることは容易に分かります．
＃例：∞＋∞＝∞だから移項して∞＝∞－∞＝0　これはおかしい
＃つまり「数と同じに計算してはいけない」
したがって，そもそも「割り算」していいのか？ということです．

０．９９９・・・＝１が意味の確定した式であるのに対して
１/∞＝０は単なる標語的な意味しかありません．
そもそもNo.1さんのご指摘のように
「∞とは何か？」というのは大問題だったりするので，
安易に計算の中にいれてはいけないのです．
計算の中で∞をいれているときには，例外なく
「∞とは何か」というのが明確に定められた
状況になっているのです．

回答No.2

kabotya636

全く同じ物と考えてよいです。
他にも、任意の3点が、同一直線上にある確率なども共通した説明ができますので、過去の説明を参考にしていただけるば良いと思います。
私なりの説明も過去にいたしました。
簡単に次の説明ではどうでしょうか。
1－0.99999・・・・＝0.000000000000000000・・・・・・・・・・・・1/∞＝0.00000000000000000000000000000000・・・・・・・・・・・・
というように、無限に0が続く事が約束されている。すごいです。
これとは逆に、「直線上に点を書け」を実戦して、、成功するという事は、点と直線との距離が0.000000000000・・・・・・・・・・と永久に0が続くいう事ですが、実際、人間には無理です。
これらは、みな同じ事が言えるのです。

回答No.1

koko_u_

∞ を定義せよ！

補足

どのような普通の実数 a よりも大きい 「∞」 というものが存在する。
この要素 「∞」 を (正の) 無限大 infinity という。

この定義だったらいかがでしょうか。私がイメージしているものに一番近いと思います。
また、別の定義もあるのでしょうか。