線形代数 線形空間の問題解説
- 線形代数の問題で、4×4行列を定義しています。
- 行列の行列式が0の場合、要素は一次従属していることを示すことが目標です。
- 解法についてわからないので、教えてほしいという質問です。
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線形代数 線形空間の問題
[]は下つき文字です。 a,b,c,dを異なる実数、f[1],f[2]f[3],f[4]をＲ{x}[3]の4つの要素として 4×4行列 V=((f[1](a),f[2](a).f[3](a),f[4](a)), (f[1](b),f[2](b).f[3](b),f[4](b)), (f[1](c),f[2](c).f[3](c),f[4](c)), (f[1](d),f[2](d).f[3](d),f[4](d))) を定義する。 det(V)=0のときf[1],f[2]f[3],f[4]は一次従属であることを示せ。 この問題が解けなくて困っています。 どなたか解き方を教えてください
- dino14dino
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[※] ax^3 + bx^2 + cx + d = (1, x, x^2, x^3) (d, c, b, a)^t (^t は転置) と書けることを使って行列 V を 2つの行列の積に分解します. 分解して得られる 2つの行列のうち左のものがファンデルモンドの行列式に現れる行列 (かその転置). 右にあるのは係数を並べた行列です. ここで両辺の行列式をとると係数行列の行列式が 0 であることが分かります. 最後に [※] を使うために左から (1, x, x^2, x^3) を掛ければ終わり. やってみればわかります.
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- Tacosan
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どこからファンデルモンドの行列式がでてくるかはわかりますか? これがわかれば「f_1～f_4 の係数からなる行列」の行列式が 0 であることがわかります. つまり, この係数行列の kernel には 0 でないベクトル t が含まれ, これを使うと (f_1 f_2 f_3 f_4) t = 0 がいえます. つまり一次従属です.
- Tacosan
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R{x}[3] は「x を変数とする高々 3次の実係数多項式の集合」かな? だとｓたら det(AB) = det(A) det(B) とファンデルモンドの行列式が 0 でないことからほぼ自明.
補足
回答ありがとうございます。 ですが、私にはなぜ自明なのかわかりません。 よろしければご説明お願いします。
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