数検の問題です。

質問

(x^2+1)/(x^4+1)を0～1の範囲で定積分せよという問題です。
(1)複素数を使って部分分数分解
(2)留数定理
の2つの手法を試しましたが、上手く行きませんでした。
解法の指針だけでもご教授いただけたら幸いです。

「(1)の手法で解けるから、もうちょっと考えてみよ」などのアドバイスも大歓迎です。考えた内容は（長文になるので）必要に応じて補足致します。

よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

ヒント）
(x^2+1)/(x^4+1)=(1/2)/(x^2+x√2+1) + (1/2)/(x^2-x√2+1)
∫dx/(x^2+x√2+1)=(√2)arctan(1+x√2)+C
∫dx/(x^2+x√2+1)=(√2)arctan(-1+x√2)+C
です。後は積分の式にして、定積分の上下限を入れるだけです。

お礼

ありがとうございます！スッキリしました！
お早い返信で助かりました。

回答No.2

info22

#1です。
A#1の追加ヒント

A#1の不定積分結果に積分の上限、下限を代入して定積分を求めると
I=(√2)arctan(1+√2)
=(√2)arccos(1/√3)
=(√2)arcsin{√(2/3)}
どれでも好きな表現を採用すれば良いです。

なお
arctan は tan^(-1) アークタンジェント
arccos は cos^(-1) アークコサイン
arcsin は sin^(-1) アークサイン
のことです。

お礼

わざわざ補足まで。ありがとうございました。