（問）n^２ －1が素数となるような自然数nをすべて求めよ。

質問

（解）ｎ^２ －1＝（ｎ－１）（ｎ＋１）と因数分解できるので
n=２のときは、、１×３＝３
n=３のときは、、２×４＝８
n=４のときは、、３×５＝１５
…
となるため、ｎ＝２のとき以外は、素数とはならない。
よって、n^２ －1が素数となるような自然数nは、２のみである。

と考えたのですが、問題はあるでしょうか?
助言頂きたくお願いします。

回答No.3

Gab_km · ベストアンサー

＞ｎ＝ｋのときは、（ｋ－１）（ｋ＋１）
＞となる。

つまり、この先がほしかったのですが・・・

あるパターンの回答、と言うことでお読みください。

[証明]
(与式) = (n - 1)(n + 1)
とできる。
・n = 1のとき、0 × 2 = 0 より不適。
・n = 2のとき、1 × 3 = 3 となり、題意を満たす。
・n = 3のとき、2 × 4 = 8 なので、題意を満たさない。
・n = kのとき(kは3以上の自然数)、(k - 1)(k + 1)は
　(k - 1) ≧ 2 かつ (k + 1) ≧ 4となり、1より大きな2つの自然数の積となるため、(k - 1)(k + 1)は合成数(＝素数でない)となる。
・n = k + 1のとき、
　{(k + 1) - 1}{(k + 1) + 1} = (K + 0)(k + 2)
　　　　　　　　　　　　　　 = k(k + 2)
であり、k ≧ 3 かつ (k + 2) ≧ 5より、その積 k(k + 2)も合成数である。
ゆえに、n = k + 1のときも不適。
よって帰納的に、k ≧ 3の自然数について、与式は合成数となる。
以上より、n = 2の時のみ、与式は素数となる。(証明終)

ひとまず、「その先」は全て題意を満たさないことを言いたいので、数学的帰納法を使うと簡単ではないかと思いました。

＞素数の定義は、その数自身と1以外に約数を持たないであるため
これをちゃんと言うのは意外と難しいかもしれないので、『1より大きな自然数の積であれば、素数にならない』と言い換えた方が証明しやすいかもしれません。

以上、参考になりましたら。

お礼

ありがとうございました。
帰納法を使う方法について勉強になりました。

回答No.2

Gab_km

＞ｎ^２ －1＝（ｎ－１）（ｎ＋１）と因数分解できるので

上記の関係が言えているから、ほとんど答えに近いところにいますが、

＞となるため、ｎ＝２のとき以外は、素数とはならない。

ANO.1の方の意見にもありますが、これではその先がどうなっているか分かりません。
なので、「その先」もそうであることを証明してください。
nについて順に考えているのですから、自ずと証明手法は見えてくるはずです。

お礼

助言ありがとうございます。

ｎ^２ －1＝（ｎ－１）（ｎ＋１）…(1)
と因数分解できる。
n=１のときは、、０×２＝０
n=２のときは、、１×３＝３
n=３のときは、、２×４＝８
n=４のときは、、３×５＝１５
…
ｎ＝ｋのときは、（ｋ－１）（ｋ＋１）
となる。

素数の定義は、その数自身と1以外に約数を持たないであるため
ｎ^２ －1の約数は、(1)式より、（ｎ－１）と（ｎ＋１）である。
すなわち、（ｎ－１）、（ｎ＋１）のいずれかが１でなければ、素数とはならないため、ｎ＝２のとき以外は、素数とはならない。
よって、n^２ －1が素数となるような自然数nは、２のみである。

上記のように解き直しました。
助言をお願い致します。

回答No.1

Ichitsubo

漏れがある気がします。
n＝5以降に触れていないからです。

素数の定義「その数自身と1以外に約数を持たない」を用います。
つまり、n^2-1が素数であるということはその２つの約数であるn-1とn+1はどちらか片方が1であると言うことです。

補足

助言ありがとうございます。

ｎ^２ －1＝（ｎ－１）（ｎ＋１）…(1)
と因数分解できる。
n=１のときは、、０×２＝０
n=２のときは、、１×３＝３
n=３のときは、、２×４＝８
n=４のときは、、３×５＝１５
…
ｎ＝ｋのときは、（ｋ－１）（ｋ＋１）
となる。

素数の定義は、その数自身と1以外に約数を持たないであるため
ｎ^２ －1の約数は、(1)式より、（ｎ－１）と（ｎ＋１）である。
すなわち、（ｎ－１）、（ｎ＋１）のいずれかが１でなければ、素数とはならないため、ｎ＝２のとき以外は、素数とはならない。
よって、n^２ －1が素数となるような自然数nは、２のみである。

上記のように解き直しました。
助言をお願い致します。