誰か答えてください！ 確率の問題です

質問

問題 :
次の確率を求めよ。
空間に無作為に3点をプロットするとき、これらの3点が同一直線上に並ぶ確率を求めよ。

私の考え ：
どう考えても答えは0になるんですが、物理的にやってみると3点が同一直線上に並ぶことはあります。なぜですか？

回答No.3

kabotya636 · ベストアンサー

３点のうち２点を結ぶ直線を引きます。
もう一つの点がその直線上にある確率ですから、
(直線の面積)/(全体の面積）となります、
直線の面積は無限少、つまり0と考えてよいでしょう。
全体の面積は、有限で与えられているはずです。
*直線状にある点をとったと仮定する場合もありますが、無限に拡大して確認すると、どこかで必ずはずれているという事です。

お礼

ご回答ありがとうございます。
私もあなたと同じ方法で計算した結果、確率は0になりました。
では、同一直線状に3点が存在するということはありえないということですか？では、点の集合が直線と言う考えはどうなるのでしょう？直線は点が3つどころか無数に集まってできていますよね。

回答No.11

kabotya636

Ａno３です。
数学での約束事なのです。
あり得ない事だとしても、もしあったらという仮定をしないと数学の問題が存在しなくなるからです。物理などでも、「標準状態だとすると・・・」などがあるのと同じです。

回答No.10

Ishiwara

本当はゼロではなくて「無限小」（無限大の逆数）なのです。
確率というものは、１という量を、相互に排他の事象に割り当てたものです。起こり得る事象が無限に多ければ、１つの事象の「分け前」は無限小となります。ゼロは「起こり得ない」ですが、無限小は「起こり得ない」ことではありません。だから、あらかじめ「絶対に起こらない」とは言えないし、起こってしまった後で、振り返ってみるとき「起こり得ないはずのことが起こった」とはならないのです。
ここのサイトでしばしば出てくる「０.９９９‥は１か？」という疑問と「根っこではつながっている」問題です。

回答No.9

arrysthmia

慣用として、
「確率が 0」 = 「ほとんど起こらない」
「確率密度が 0」 = 「あり得ない」
のような言い方もありますね。

0 ではない確率密度を積分して、確率の値が 0 になることがあり得る
という所がミソです。

回答No.8

koko_u_

空間に 3点をプロットするという事象の数は無限にあり、そのなかに「3点が直線を形成する」という事象はあります。

ANo.4 氏の指摘にあるように、無限にある事象に対して一様な確率(サイコロの出る目の確率が 1/6 のような)を考えることはできないので、
適当な確率モデルを設定する必要があります。(例えば原点に近いほどプロットされやすく、遠くに行くとプロットされにくいとか)

計算した結果、3点が直線に並ぶ確率が 0 だとしても、3点が直線に並ぶ事象自体が消えるわけではありません。

日常用語では、「確率が 0」 = 「可能性が無い」 = 「その事象はあり得ない」
ですが、それはあり得る事象が有限な場合に限られ、無限の事象を扱う場合、直感とは異なる結論を得ることもあります。

回答No.7

kabotya636

Ａno.3です。その命題は正ではありません。
数学での約束事として、「同一直線上にない3点」と、ことわる必要があります。

補足

ご回答ありがとうございます。

中学・高校の数学でこんな問題でますよね。

以下の命題の真偽かを述べよ。また、偽の場合は反例を述べよ。

（例）：「ある数が素数であるならば、その数は奇数」
（答）：偽　反例…ある数が2のとき

問１：「空間中に3点をとり、それらを直線で結べば、三角形ができる」
（答）：偽　反例…3点を同一直線上にとったとき

注意：問１の前の（例）は本件とは関係ありませんが、なんとなく問題の雰囲気を思い出していただくために書きました。

ここで、もし、直線上に3点が並ぶ確率が0ならば、反例はなくなり、命題は正となりますよね。では、問１の答えは正でよろしいのでしょうか？

回答No.6

kabotya636

Ａno.3です。もう少し補足します。
直線には無数の点がある。
つまり、みんなが書いてる点は、便宜上のもので、厳密に言うと、あなたが書いた点の中に、無数の点があるのですよ。
つまり、点は、長さも広さも体積も0.だからぶつかることがない、一致する事はない。全く同じ点というのはあくまで便宜上のことなのです。もうひとつ
6桁の宝くじだとだれかがあたります。
もし永久に続く桁数の宝くじだと100桁まであってたとしても1、たいてい105桁くらいではずれます。さらに100000000000000000桁までやるとまずあたる人はいないでしょう。デモもしいたとしたら，更に100000000000000000・・・・・・・と永久にやるのです。実感できますか？

お礼

ご回答ありがとうございました。
本当にわかりやすい例えでした。

最後に確認ですが、3点は直線状に並ぶことは絶対にないと考えてよろしいんですね。『無作為にプロットした3点を直線で結べば三角形ができる。』という命題は正なんですね。

回答No.5

kabotya636

Ａno.3です。私の解答は面でやっていましたが、空間でも全く同じです。例えば、数直線上の1に点を作ったつもりでも、厳密にはかってみると0.99999999999999999・・・・または1.0000000000000・・・・・であり、永久にやったなら、どこかで9以外の数または0以外の数になるところがあるということです。もちろん永久に続く事が立証できれば1であり、3点が並ぶ事があり得るということですが、人間がやる事、永久は無理です。
わかっていただければ幸いです。もし、だめだったら、ほかの例も考えておきます。

回答No.4

arrysthmia

「同一直線上に並ぶ確率」以前に、まづ、
「空間に無作為に3点をプロットするとき」が無理っぽいです。
「空間」が有界でなければ、一様分布は存在しません。

回答No.2

koko_u_

>私の考え ：
>どう考えても答えは0になるんですが

どう考えたのかを補足に。

回答No.1

noname#96418

>物理的にやってみると

その物理的「点」あるいは「直線」の体積あるいは面積がゼロでないからではないのですか？