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微分方程式

以下の問題がわかりません。 y''-y'-2y=αx の解y=y(x)でlim y(x)/x=2 (x→∞)を満たすものが存在する。このときのαの値を求めよ。 計算をして、一般解はy=Ae^2x+Be^(-x)+(2-x)/2α (A,Bは定数) と出しました。(この一般解が間違っていれば教えてください。) この後が解けないので教えてください。

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  • info22
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回答No.1

特解が間違っています。 一般解はy=Ae^(2x)+Be^(-x)+(1-2x)(α/4) y/x|(x→∞)=A{e^(2x)}/x|(x→∞) +B{e^(-x)}/x|(x→∞) +{(1/x)-2)}(α/4)|(x→∞) 右辺第一項はA=0でないと発散するのでA=0でなければならない。 右辺第二項は0に収束する。 右辺第三項は「-α/2」に収束する。 全体が2に収束するから -α/2=2でなければならない。 以上から A=0,α=-4 が出てきます。 この時、題意を満たす解はy=Be^(-x)+2x-1

tushi
質問者

お礼

ご回答ありがとうございます。よく理解できました^^

その他の回答 (1)

  • fef
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回答No.2

一般解が少し違うようです. 正しくは, y(x) = A exp(2x) + B exp(-x) - (alpha/2) x + (alpha/4) ですね. 一般解が求まっているので,それを使うことにしましょう. 注意すべきは,指数函数の発散の速さです. 極限をとっている函数 y(x)/x の中に exp(2x)/x という項がありますが, この極限は exp(2x)/x -> inf as x -> inf となります. したがって,極限値が存在するためには A = 0 が必要で, A = 0 ならば y(x)/x -> -(alpha/2) as x -> inf. この極限値が 2 になるとき,alpha = -4 ですね. 数値を出すだけなら,もっと楽な方法もあります. 与えられた等式の意味をよくよく考えると, 十分大きい x に対して y は 2x + o(x) で近似できると言っているわけです. そこで,この近似式を微分方程式に代入して, -4x + o(x) = alpha x. ゆえに,alpha = -4 と求まります.

tushi
質問者

お礼

ご回答ありがとうございました。簡単に求める方法があるんですね。全く気づきませんでした。

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