イプシロン-デルタ

質問

∀ε>0,∃δ>0 : ｜h｜<δ →｜f(x+h)-f(x)｜<ε が成り立つときf(x)は点xで連続であると定義する。
この定義を使ってf(x)=x^2の連続性を証明する問題ですが、
(1)点x=0で連続を証明
(2)どの点x≠0でも連続であることの証明
がわかりません。

(1)は｜f(x+h)-f(x)｜=｜h^2｜<δ^2 なので δ<=√ε となるようにδをとれば連続であることが証明できると思うんですが、(2)がよくわかりません。

｜x-a｜<δ →｜f(x)-f(a)｜<ε ではなくて｜h｜<δ →｜f(x+h)-f(x)｜<ε を使えとなっているのがややこしいです。

回答No.3

hatake333 · ベストアンサー

>｜x-a｜<δ →｜f(x)-f(a)｜<ε ではなくて｜h｜<δ →｜f(x+h)-f(x)｜<ε を使えとなっているのがややこしいです。

なんとなく気持ちが分かるような気がします．
「｜x-a｜<δ →｜f(x)-f(a)｜<ε」なら，
　　「|x^2 - a^2| = |x + a|*|x - a|」ですから｜x-a｜<δが使いやすそうですよね．
しかし，|x - a| は残るわけですから，結局どちらも(1)ほど単純にはいかないでしょう．

(2)で注意すべきは，いきなり0以外のすべての実数について証明しようとしないことです．
まず，任意に0以外の実数xをとりましょう．一度xをとったわけですから，このxは定数です．
この定数xについて，|h| < δのとき
　　|f(x+h) - f(x)| = |h|*|2x + h| < |h|*(2|x| + |h|) < ε
を満たすεを(εの中に定数xを含んでもよいので)見つけてください．
そして，最後に「任意に0以外の実数xをとったので，結局上記の不等式は，0以外のすべてのxの場合について成り立つ」と言えばOKです．

お礼

ご回答ありがとうございます。おかげで理解できました。

回答No.2

koko_u_

>｜x-a｜<δ →｜f(x)-f(a)｜<ε ではなくて
>｜h｜<δ →｜f(x+h)-f(x)｜<ε を使えとなっているのがややこしいです。

出題者「わざわざ計算しやすいように気を使ったんですけど。」

回答No.1

Tacosan

はぁ?
x-a = h とおけば同じことでしょ?