積分の問題

質問

ｙ＝４∫x√1‐x＾2　dx
が解けません。
よろしくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#1です。

#2さんの解でも合っています。
その解でtで積分してからxに戻した方が分かり易いでしょう。
ただ、ここでは丸解答を書くことはできないので少し間を省略された
のだと思います。

A#2の補足質問で
> 4∫x√1‐x^2　dx＝-2∫√1-x^2*(1-x^2)’dx
=-(4/3)(1-x^2)^(3/2)+C
or
=-(4/3)(1-x^2)√(1-x^2)+C
で解答は完結します。
分かりにくければ#2さんの t=1-x^2の置換をすればいいです。
上記の解はこの置換を省略しているのに過ぎません。

従って、以下の部分積分法をする意味はありません。しても解答になるわけでなくテストなら減点の対象になるだけです。そして解答にも辿り着けません。辿り着くには堂々巡りでもとの振り出しの積分に戻ってきて底からの積分のやりなおしになるだけです。
あえて部分積分をしても#3さんの回答にもあるように積分が複雑化して、挙句の果ては最初の積分の式に戻るだけです。
> と変換して解く「部分積分法」ではこの問題は解けるのでしょうか??
> この続きが解れば教えてください。
なのでここで部分積分法を適用すること自体が適当でなく、この続きをやっても、無駄な計算を一巡して、元の積分の振り出しにもどるだけで、時間と計算を無駄になるだけです。

無駄な計算をすることも、無駄と分かる為には必要かもわかりませんが…。でも時間は貴重ですから、その時間を別の方で使った方がいいですね。

お礼

丁寧にありがとうございます。
無駄な計算を繰り返して、ものすごい時間がかかりました。。
解決できたのはみなさまのおかげです!!
ありがとうございます。
また、次の機会に。。よろしくおねがいします!!

回答No.3

33550336

＞すみません。さらに質問です。
＞4∫x√1‐x^2　dx＝-2∫√1-x^2*(1-x^2)’dx
＞と変換して解く「部分積分法」ではこの問題は解けるのでしょうか??
＞この続きが解れば教えてください。。

なんかおかしくないか？
4∫x√(1‐x^2)　dxを部分積分すると
4∫x√(1‐x^2)　dx
=4{[(1/2)x^2√(1-x^2)]-∫(1/2)x^2(1/2)(1-x^2)^(-1/2)(1-x^2)'dx}
さらに積分区間が[0,1]なら
=2∫x^3/√(1-x^2) dx
となるのでは？
ここでどうせ置換が必要だから意味がないと思うが。

お礼

あ。そうですね。結局、置換が必要になりました。
最初から置き換えてたら楽なわけですねー。。
ありがとうございました！!

回答No.2

nious

1-x^2=tとおくとdx=-dt/(2x)より、y=-2∫√t dt=-(4/3)*(1-x^2)^(3/2)+C

お礼

こう置き換えても解けるんですね!!
置き換え大事です。よくわかりました。。
ありがとうございました。
すみません。さらに質問です。
4∫x√1‐x^2　dx＝-2∫√1-x^2*(1-x^2)’dx
と変換して解く「部分積分法」ではこの問題は解けるのでしょうか??
この続きが解れば教えてください。。

回答No.1

info22

t=x^2
と変数変換すれば
dt=2xdxで
y=2∫(1-t)^(1/2) dt
=-(4/3)(1-t)^(3/2)+C
後はxに戻すだけです。

お礼

迅速な回答ありがとうございました!!!
やっと解けました・・
たすかりました