無理数と素数の間に何か関係があるのでしょうか

質問

両方とも割り切れないということに関係があるように思うのですが、考える上での指針のようなものを教えていただければ幸いです。

回答No.4

ringohatimitu · ベストアンサー

多少特殊な話題になりますが少し知ってるものを紹介したいと思います。
(1)
区間[0,1]における点集合の一様分布に関して良く知られた事実があります：

無理数αに対して
{αp (mod 1):pは素数}
は[0,1]上一様に分布している

(mod 1)というのは与えられた数xに対してその小数部分{x}をとるということです(例えば6/5 (mod 1)={6/5}=0.4)。上の事実を微積分に関連させてもっと砕いて表すこともできます。

[0,1]上で連続な関数Fに対して
lim_{X→∞} (log X)/X Σ_{p≦X} F({αp}) = ∫[0,1] F(x) dx

αが有理数だと成り立たないので無理数と素数の特有な関係を表したものの一つだと思います。

(2)
また次の「予想」（まだ証明されてないので定理ではないですが正しいと信じられている）も素数と無理数（本質的には超越数と関連している）の特有な関係の一つです：

{log p: pは素数}は代数的に独立

代数的に独立というのは「任意の有限個のlog p_1,..,log p_NをとったときにP(log p_1,...,log p_N)=0となる0以外の多項式をとることができない」ということです。一次多項式でそのようなものが無いことは素因数分解の一意性とある定理（例えばBakerの定理）からすぐ分かりますが２次以上となると急に難しくなるようで今のところ未解決問題です。

他にもたくさんありそうですから色々自分でも探してみると面白いと思いますよ。

お礼

御懇切な説明をいただき誠にありがとうございます。私としては関係があるということを教えていただくだけで十分満足なのですが、少しでもわかるところを見つけて勉強させていただきます。

回答No.3

Ae610

「合成数Nの1と異なる最小の約数（それは素数になるが）は√Nを越えない。」

なんかは、無理数と素数の関係を言っている。（・・・のでは？）

お礼

勉強させていただきます。ご教示ありがとうございます。

回答No.2

kabaokaba

問題が大きすぎ．
何にでも顔を出す「素数」が
何かを仲立ちにして別のもの（例えば「無理数」）と
関係しているのは当然だと思う．

単純な例：任意の素数pに対して，pのn乗根は無理数
証明は簡単．
＃けどこの方向で進むと円分多項式とかクンマー拡大とか
＃代数の世界への入り口になる

あえてものすごく巨大な機構を引っ張り出すなら，
ゼータ関数ζ(s)と素数
ζ(s)= Π_{p:prime} p^s/(p^s-1)
とかけるから，
例えば素数による積とπ^2/6がつながる．
＃これくらいまでなら初等的な証明（説明というべきかな）は
＃まだ可能
他にもいろいろあるに違いないけど
すぐ思いついたものだけ．

ここのところの質問などを見てると
とりあえず，オイラーの本でも読むと
得られるものがあるのかとか思います．
海鳴社「オイラーの解析幾何」
海鳴社「オイラーの無限解析」
両方とも安い本ではないですが，日本語でよめる
オイラー自身による著作は極めてすくない。。。
＃これら以外にあるのかな

オイラーとかガウス，ニュートン，ライプニッツあたりの
17世紀近辺の大巨人の仕事を
現代的に厳密にしていこうとすると・・・
かなりすごいことになるわけで，
いろいろなものが俯瞰できるかと

お礼

ご丁寧に対応していただいて恐縮いたします。数学に対する憧れは理解力と関係がないようです。せめて図書館でご紹介の本を拝見したいと思います。ご教示に感謝いたします。

回答No.1

yaemon_2006

無理数は、割り切れる、割り切れない以前に分数(割り算)であらわすことができない。
素数は、1やその数自身で割り切れる。

お礼

関係がないということでしょうか。御教示ありがとうございました。