周辺固定平板の振動

質問

周辺固定 平板の振動について教えてください。

周辺が支持された平板の振動は多くの書籍に記載されています。
理解できます。

しかし、それと同じやり方（変数分離）を用いて、周辺固定の平板の
固有振動数および振動モードを求めようとしたのですが、

境界条件で、たわみとたわみの傾きが端で０というのが境界条件になるはずなので、その通りにやるとたわみ＝０が解となってしまい、
板は振動しないことになってしまいました。
なぜだかわかりません。
本当は振動するはずなんです。
誰かわかる方いたら教えてください！！

回答No.1

h191224 · ベストアンサー

この質問に気づかず、ごめんなさい。
もう手遅れかも知れませんが、回答します。
ご質問の「周辺固定平板」とは、円板ではなく、長方形板ですね？
周辺固定長方形平板だとすると、辺に沿って、
　　∂w/∂x，∂w/∂y
を、辺に沿って、ある値に規定する必要がありますが、これらの値を自由に選ぶと、頂点における
　　∂^2w/∂x∂y
の値が１通りに定まらなくなります。それが可能な”ある値”は０しかなく、以下、高階の導関数についても、その１階下の導関数との関係で類似のことが生じてしまいます。
だから、ｗの形として、整関数にこだわるならば、微係数がすべてゼロとなることから、結果的に、ｗ＝一定の関数しか存在しなくなってしまうのです。
このことは、結構有名な話ですので、弾性論の本や有限要素法の本などを読めば、だいたいは書いてあります。
有意義な解を得たいなら、関数形にこだわるよりは、リッツの方法に従って近似解を求めるか、数値解析を行って求めるなど、他の方法による方が賢明です。

なお、周辺固定長方形平板の１次の固有振動数ｆであれば、両端固定梁の解を元に作成した次の近似解で求めることが可能です。誤差は最大で0.2%です。
計算してみておかしな値になったら指摘してください。多分私の書き写し間違いですので。

ｔ：板厚
Ｅ：縦弾性係数
ν：ポアソン比
ρ：密度
ａ：短辺の長さ
ｂ：長辺の長さ
ｆ＝（t/2/π)*(Ｅ/(12*ρ*(1-ν^2)))*(4.730/a)^2*ｇ(λ)
　　λ＝(a/b)^2
ｇ(λ)＝3.251*sqrt(λ^2＋0.59*λ＋1)