数学

質問

10％食塩水100gの入った容器がある。
この中から10g取り出し、代わりに水を10g加えてよくかき混ぜる操作を繰り返し行う。
食塩の濃度が4％以下になるには最低何回の操作が必要か。

1回目のろ過 →20%除去→80%は残る
2回目のろ過 もともと最初の80%→20%除去→80％の80％＝64％残る
3回目のろ過 もともと最初の64%→20%除去→64％の80％＝51.2％残る
以後繰り返し
0.8^n=0.05
こういうことですか？？
で両辺に常用対数をとればよいですか？

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。
そういうの、ろ過って言うんでしたっけ？

さて、
食塩水の問題は、食塩の質量で考えることができるのであれば、
その考え方で解くのが最もよいと思います。

最初の状態では、食塩の質量は１０グラムです。
第１ステップ後では、食塩の質量は１０×０．９グラムになります。
第２ステップ後では、１０×０．９×０．９グラムになります。
第３ステップ後では、１０×０．９×０．９×０．９グラムになります。
つまり、
第ｎステップ後では、１０×０．９^n　グラムになります。

１００ｇで４％以下ということは、食塩は４ｇということですから、
１０×０．９^n　＜　４

以上、ご参考になりましたら。

補足

長文でありがとうございます。

0.8^n=0.05
でいいのですか？
＝ですか？

回答No.3

sanori

＞＞＞　0.8^n=0.05でいいのですか？

私の回答の内容を、本当に読まれたのでしょうか？

０．８ではだめです。
１０グラム取り出し、１０グラム足すから、合計８０％という誤解をされているのでしょうか？

１０グラム取り出した時点で、食塩の量は９グラムです。
水を加えて１００グラムですから、
１回目終了時点での濃度は、９／１００　です。

２回目は、９から１０％減るので、９×９／１００　＝　８１（８１％）となります。

ですから、繰り返しになりますが、
１０×０．９^n　≦　４
です。

＞＞＞　＝ですか？

≦　です。

回答No.2

noname#75273

前提として、食塩 = 食塩水 × 濃度(%) / 100 は必須です。

(1)　10 % の食塩水100g ⇒ 食塩 10g です。
(2)　10g 取り出すと、食塩水90g で濃度は10% のままなので
　　　　⇒ 食塩 9g です。
(3)　10g の水を加えると、食塩水 100g で、食塩 9g なので、
　　　　⇒ 濃度 81/10 %

ここまでが 1 回の操作となります。
問題文から、求める回数を n とすると。
n 回後の濃度は、9 × (9 / 10)^(n - 1) (%) です。
これが 4 % 以下となればよいので、9 × (9 / 10)^(n - 1) ≦ 4
さらに、(9 / 10)^(n - 1) ≦ 4 / 9
両辺 log をとると、log_10_(9 / 10)^(n - 1) ≦ log_10_(4 / 9)
(n - 1) log_10_(9 / 10) ≦ log_10_(4 / 9)
・・・・・
n ≧ 8.69・・・・　⇒　n = 9
つまり 9 回の操作で 4 % 以下となる。