固有値の問題に関して

質問

交代行列Aが固有値λをもてば、-λもAの固有値である。
って問題なんですが、旨く導けないです。

Ax=λx (xは固有ベクトル λは固有値)
を変形して
transport(A)=-Aを利用して、
Ax=(-λ)xに変形しようと自分は、考えたんですが
殆ど計算しないまま詰まってしまします。
この方法では、無理なんでしょうか？

他のやり方でもいいのですので、どなたかご教授頂けないでしょうか？
お手数ですが、よろしくお願いします。

回答No.2

reiman · ベストアンサー

言葉は少ない方がよさそうなので。

Ｕ＝Ａ－λEとすると
Ｕ＾Ｔ＝Ａ＾Ｔ－λE＝－Ａ－λＥ
｜Ｕ｜＝０なので｜Ｕ＾Ｔ｜＝０だから
０＝｜Ｕ＾Ｔ｜＝｜Ａ＋λＥ｜

お礼

固有多項式=0ってのと、
AとA^(T)の固有値が等しいを使えばよかったのですね。
式を操作したとき、
|A-λE|=|A+λE|ってのになったので、もう少し工夫すれば自力でも
解けたかもしれません。
簡潔で非常にわかりやすかったです。
本当にありがとうございました。

回答No.1

Willyt

交代行列の定義はＡ＝－Ａ(t) （トランスバースの意味）ですね。
λを固有値とし、この両辺からλＥを引くと　ＡーλＥ＝－（Ａ(t) + λＥ）＝０となります。この式の右辺はＡ(t) の固有値が -λであることを主張しています。一方、ＡとＡ(t) の固有値は等しいですから　ーλもＡの固有値になりますね。
あ、Ｅは単位行列です(^_^;)

お礼

上の式と、下の説明を合わせると丁度読み易くてわかり易かったです。
本当にありがとうございました。