締切済み dy/dx=-2xy 2008/08/07 10:06 1階の線形微分方程式dy/dx=-2xyの一般解を求めるにはどうしたっらいいんですか? みんなの回答 (1) 専門家の回答 みんなの回答 nious ベストアンサー率60% (372/610) 2008/08/07 10:23 回答No.1 そのまんま変数分離です。∫dy/y=-2∫x dx 通報する ありがとう 0 広告を見て他の回答を表示する(0) カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A (3x^2+y^2)dy/dx=2xy (3x^2+y^2)dy/dx=2xy この微分方程式解ける方いらっしゃれば よろしくお願いします(>_<) dy=dx こんにちは さっそく質問なのですが、 例えば、微分方程式や置換積分でdy/dx=1⇒dy=dxのような式変形を使いますよね。 が、このような変形をしていいのはなぜですか? 微分方程式 第1問 dy y~2-x~2 --=--------- (ヒントz=y/xと置換しなさい) dx 2xy 第2問 一階線形微分方程式 dy --+ycosx=sinx×cosx---(1)がある dx 1、この方程式の同次の微分方程式を解きなさい 2、定数変化法により、この微分方程式(1)の特解を求めなさい。 また、その時の一般解を求めなさい yがdy/dx+2xy=4x・exp(x^2) yがdy/dx+2xy=4x・exp(x^2) を満たすとする。 z=exp(x^2)・yとするとき、zが満たす微分方程式を求めよ。 また、zに関する微分方程式を解き、解をyで求めよ。 という問題があります。 専門書にも似たような問題が一切なく、とても苦労しています。 よろしければ、この問題を解く方針をご教授お願いできないでしょうか? 常微分方程式の問題 常微分方程式の問題でいくつか解けなかったところがあるので教えていただきたいです。 この章で扱っているのは 変数分離系・同時系・線形1階微分方程式・完全微分形・線形2階微分方程式(同次形)・線形2階微分方程式(非同次形) を扱っていました。 その内、一般解を求める以下の問題 (1)dy/dx=xe^-y (2)x(dy/dx)-y=1 (3)(2y-x^2)dx+(2x-y^2)dy=0 と 与えられた条件をそれぞれ満たす微分方程式の解を求める以下の問題 (1)dy/dx=y/x (x=1のときY-2) (5)y''+5y'+6y=0 (x=0のときy=0、y'=1) の問題が解くことができませんでした。 どなたか解法をわかりやすく教えていただけないでしょうか? dy=dy/dx・dxの求め方 dy/dx=dy/dx から両辺にdxを掛けたようになっておりますが、 dy=dy/dx・dx を求めるために 微分法等の公式を活用してどのようにすれば求められるのでしょうか? dy/dx はyをxで微分するということを表しており、dy/dx は分数とは異なると理解しておりますが・・・ どうぞ宜しくお願い致します。 p=dy/dxを使った微分方程式 [p=dy/dxとして、 (1) y=2xp+p 解:4(y+x)^3=(2x^3+3xy+c)^2 特殊解:y=0 (2) xy=p+x 解:y=1+ce^(x^2/2) 特殊解=? の解き方が思いつきません。 xで微分したり、yで微分したりしましたが解くことができません。 どなたか考え方教えていただけませんか? 非線形微分方程式の問題です 非線形微分方程式について質問です。 とある大学院試験の数学の問題で次のような問題がありました。 y = dy/dx (x) + 4(dy/dx)^2 この微分方程式は (dy/dx)^2 の項があり、非線形微分方式です。 非線形微分方程式は解を求めるのが大変難しいだけでなく、解が求められないものもたくさん存在します。 私はこの問を解けませんでした。 解くことは可能なのでしょうか。 お願いします。 微分方程式 微分方程式 dy/dx-2xy=2xy~2 について。 (1)z=1/yとするとき、z=z(x)が満たす微分方程式を求めよ (2)(1)で求めたzに対する微分方程式の一般解を求めよ (3)yの一般解および特殊解を求めよ という問題があります。 これは教科書にあるような、微分方程式の公式を用いて解くのでしょうか よく分からないので詳しく教えてください。 非線形微分方程式の問題について 微分方程式の問題について質問させていただきます。 [問題] 以下の微分方程式を解け。 dy/dx(dy/dx-y)=x(x-y) ただし、x=0のときy=0とする。 非線形なのでp=dy/dxとおいて、解いたのですが、解として (1) y = 1 + x - e^-x (2) y = (1/2)x^2 の二つが出てきました。しかし、(1)の方は微分して与式に代入しても、 式を満たさなかったのでですが、これらの解は合っているでしょうか? おそらく、(1)は間違っていると思うのですが、p=dy/dxとおいて解くと、なぜかこのような解が出てきてしまいました。 回答よろしくお願いいたします。 dxやdyの本当の意味は? 宜しくお願いします。 昔、高校で dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。 が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。 「両辺をdy倍して…」等々、、、 また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。 結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか? (何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました) 一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい のにとも思ったりします。 実際の所、 dxの定義は何なんですか? dyの定義は何なのですか? 本当はdxとdyはばらばらにできるのですか? どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。 dy/dx・dxは置換積分を使ってdy? 次の微分方程式を解け 2yy'=1 とありました。解答は -------------------------------- 2y・dy/dx=1の両辺をxで微分して ∫2y (dy/dx) dx=∫dx 置換積分法により ∫2y dy=∫dx ゆえに y^2=x+C (Cは任意定数) -------------------------------- となっています。ここで疑問に思ったのが ”置換積分法により”という箇所です。 これはdy/dx・dxを”約分して”dyにしてはならず、 ”置換積分法により”dyにしなくてはならない、 ということが言いたいのだと解釈しました。 疑問1. そこで、ここにおける”置換積分”とは具体的には どのような作業を指すのでしょうか? 疑問2. 以下は全て同じことを表現したいと意図している のですが、誤解を招くことはないでしょうか? 2y・dy/dx・dx 2y (dy/dx)・dx 2y dy/dx dx 2ydy/dx dx 2y*dy/dx*dx 2yとdyの間に半角スペースを入れた方がよいか ・と*と半角スペースどれが妥当か dy/dxは()でくくるべきか などなどです。 dy/dx (y+1)を積分して(y+1)^2? 次の微分方程式の一般解を求めよ。 (1+y) (d^2y)/(dx^2) + (dy/dx)^2 = 0 dy/dx = p とおくと、 (1+y)p (dp)/(dy) + p^2 = 0 となり、 (i) (1+y) (dp)/(dy) + p = 0 (ii) p = 0 の2通りが考えられる。 (i)の場合 1/p (dp)/(dy) + 1/(1+y) = 0 の両辺をyで積分して log |p(y+1)| = C_1 つまり、 dy/dx (y+1) = C_1 両辺をxで積分して、 (y+1)^2 = C_1x + C_2 ←? という解を得る。 ・・・と本に書いてあります。しかし、 「両辺をxで積分して」の計算は間違ってないですか? 自分が計算すると、 dy/dx (y+1) = C_1 ∫ (y+1) dy/dx dx = C_1∫dx ∫ (y+1) dy = C_1∫dx ∫y dy + ∫1 dy = C_1∫dx y^2/2 + y = C_1x + C_2 になります。 積分して(y+1)^2になるなら、元々は2(y+1)じゃないといけないですよね、きっと。 ということで、どなたか検算をお願いします。 未定係数法は一階の線形微分方程式にも使えるのでしょうか? 未定係数法は一階の線形微分方程式にも使えるのでしょうか? 一階の線形微分方程式の解き方は dy/dt + p(t)y = g(t) のとき e^∫p(t)dt を両辺にかけて そのあとで両辺を積分してyについて解く と習いました。 そして、未定係数法は2階の線形微分方程式を解く方法の一つとして、 習いました。 ここで疑問に思ったのが、 この未定係数法は一階の線形微分方程式にも使えるのでしょうか? だとしたら下のような手順でよいのでしょうか? 同次式: dy/dt + p(t)y = 0 の一般解を求める (積分定数が残る) 非同次式: dy/dt + p(t)y = g(t) の特殊解を求める (積分定数はない) yの一般解 = 同次式の一般解 + 特殊解 よろしくお願いします。 dy÷dx 独学で数学の勉強をしています. 微分のところをやっていて少し詰まってしまいました。 Δy÷Δx というのは分数のようなのですが、 dy÷dx はただの記号というようなことが書いてありました。 過去の質問等を見て lim という操作をしているから分数ではないと考えたのですが、 その一方で dx などが「微分」と呼ばれ、 dy÷dx は「微分係数」とか「導関数」と呼ばれるということも知り、 ただの記号なのに dx 単独に分解できてるので、 どうしても分数のように見えてしまいます。 どのように考えればよいのでしょうか? dx*dy=aは微分方程式になりますか 二つの非常に少ない量を掛け合わせたものが一定と考えられる場合、この量を、それぞれdx,dyとしてdx*dy=aとあらわしたものはそのまま微分方程式になりますか。 微分方程式の問題で 微分方程式の問題で 「a,bが任意定数のとき、次式が一般解になるような最小階数の微分方程式を示せ。 y = ax^2 + 2bx」 の答えがわかりません。 答えは一階の微分方程式で (dy/dx) + y = ax^2 + 2(a+b)x +2b となるのか 二階での微分方程式で x^2 * y" - 2xy' +2y = 0 となるのかで迷っていて、 一階の微分方程式が特殊解なのか一般解なのかの判断がつかないと言う状況です。 というのも教科書には 「限定状況を与えなければn階の微分方程式にはn個の任意定数を含む」 とあるのですがこの限定条件がわからなくて判断がつきません。 どちらが正しいのでしょうか? dy/dx=-x/yの意味が解りません dy/dx=-x/yの微分方程式を解く問題があるのですが どのようにしてとくのか意味が解りません 誰か教えていただけないでしょうか 微分記号(dy/dx)について質問です。 微分記号(dy/dx)について質問です。 例えば、 dy/dx=x という微分方程式を考えます。 両辺をxで積分すると、 ∫(dy/dx)dx = ∫x dx ・・・(1) となって ∫dy=∫x dx ・・・(2) ⇔ y = (1/2)x^2 + C (Cは積分定数)となります。 ここで質問です。(1)から(2)へ変形するときどうして、(dy/dx)dx = dx 、とできるのでしょうか? dy/dx は、分数じゃなくて記号だと習ったのに、あたかも普通の数字や文字であるかのように計算(約分)できるのはどうしてですか?形式的にしか理解していないのでその計算の意味を教えてください。 よろしくお願いします。 微分でd/dx (xp) = p+x dp/dx 微分方程式 x (d^2 y/dx^2) + dy/dx = x^3 の一般解を求めよう。 dy/dx = p とおくと、微分方程式は次のようになる。 x dp/dx + p = x^3 積の微分により、 d/dx (xp) = p + x dp/dx ← であるから、この微分方程式は次のように変形することができる。 d/dx (xp) = x^3 ・・・と続くのですが、この d/dx (xp) = p + x dp/dx はどうやって求めたのでしょうか? 積の微分というと、 (f*g)' = f'g + fg' ですよね? x dp/dx + p = x^3 にはそもそも掛けている要素が無いことないですか? dy/dx = p と置き換えをしているので、さらにややこしく思えます・・・。 どうか教えてください。お願いします。