等比数列の和の証明

質問

こんなに初歩的なことを聞いて申し訳ない気持ちでいっぱいですが、深く考えすぎたのか混乱してしまったため、恥を忍んでお尋ねします。

等比数列の和の証明が、
Sn =
両辺にｒをかけて
rSn =
辺々を引いて
(1-r)Sn =
※すみません文字化けして意味が分からなくなってしまったので割愛します

となっていて、辺々を引くと真ん中の部分が綺麗に消えて、簡単になるということなんでしょう、が。
なぜここで変形した式から元の式を引くということができるのかが引っかかってしまって。
変形しただけなんだから同じ式なのになんで引けるのか、とか。
連立方程式と同じ要領でそうなっているのだろうか、とか。
そもそも連立方程式って一つのことについて多角的に式を立てて、引くことで簡単になるからそうしてたんだっけ？と思えてきてしまって一向に解決しません（汗
気になりだすと他の証明もみんな「辺々を引いて」って出てくるし・・・（涙

連立方程式の文字が一つになっただけのもの、と考えてよろしいでしょうか？
こんなことをお聞きしてすみません・・・。
高校2年までの範囲でお答えいただければ幸いです。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

＞＞＞連立方程式の文字が一つになっただけのもの、と考えてよろしいでしょうか？

そのとおりです。
加減法を使ったり、両辺に同じ数（ｒ）をかけたりすることは、
連立一次方程式だけが持つ特権ではないんです。

これでまだ、すっきりしなければ、ご遠慮なく補足してください。

お礼

迅速な回答ありがとうございます。
簡潔で大変助かりました。
変形した式どうしを加減法でどうにかしていいということが分かっただけで私には十分だったりします＾＾；
みなさんいろいろと式で説明してくださって大変ありがたいのですが、いかんせん今まで数学をサボっていただけにスッと頭に入ってこないもので；必死で復習中です。

補足

あ、ちょっとひらめいた感があります！
連立方程式の未知数のうち一つを消す方法と同じ要領で、「・・・」の部分を消すというわけですか！？
なんか確証を得るために補足なぞしてしまって申し訳ないのですが、もし見ていらしたらアドバイスお願いしますm(_ _)m

回答No.5

sanori

へいっ　まいどっ　　＾＾

＞＞＞
あ、ちょっとひらめいた感があります！
連立方程式の未知数のうち一つを消す方法と同じ要領で、「・・・」の部分を消すというわけですか！？

その通りです！

お礼

なるほど～！！
だから「・・・」の部分をそろえるように両辺にｒをかけて、引くわけですね！
もう回答してくださっているなんて感激です（涙
こんな先生が身近に欲しい・・・っ！
ありがとうございますm(_ _)m

回答No.4

Meowth

変形しただけなんだから同じ式なのになんで引けるのか
同じ式だろうが、なんだろうが
べつにひいてもたしてもかまわない。
結果が意味があるかどうか、もとの式と同値かは
わからない。

ひくのがいやなら変形すればいい 初項１として
Sn=1+r+r^2+....+r^(n-1)
(1-r)Sn=(1-r)+r(1-r)+r^2(1-r+....+r^(n-1)(1-r)
=1-r+r-r^2+r^2-.....+r(n-1)-r^n=1-r^n
なら(1-r)倍しただけ
左辺にかけるのがいやなら
Sn={1+r+r^2+....+r^(n-1)}/1
={1+r+r^2+....+r^(n-1)}(1-r)/(1-r)
={=(1-r)+r(1-r)+r^2(1-r+....+r^(n-1)(1-r)}//(1-r)
でもかまわないが

お礼

ふうむ、なるほど。
そのような考え方もできるのですねぇ・・・。
大変参考になりました。
ご回答ありがとうございますm(_ _)m

回答No.3

noname#75273

連立方程式は、一般的に未知数が 2 つです。
等比数列の和の証明では、言葉を選ばなければ、文字式の計算でしょうか。

0.66666666・・・・・・ は、2/3 に等しいことと同じ考えかたになると思います。（つまり、数列の公式にある、「・・・」の部分をスッキリさせたい。）

X = 0.66666666・・・・　…(1) とおくと、
10 X = 6.66666666・・・・　…(2) となる。
ここで、(1) - (2)　を計算すると、
X - 10 X = - 6
X = 2 / 3

お礼

文字式の計算・・・は、0.66666666・・・・・・ は、2/3 に等しいことを導くようなことでしょうか。

そうなんです！数学をサボってきてしまった私は必死で今復習中なわけですが。
実数を復習していてこの証明も等比数列の和の証明と同じではないか、と思いまして。
そんなにいろいろと使う考え方ならば今理解しておかないでどうする、と思い、質問させていただいた次第です。
「・・・」の部分をすっきりさせるには、変形した式どうしを引く必要があって、その考え方は可である（というかパターン？）という解釈なのですが、よろしいでしょうか。

自分の中では割とすっきりしてきました！ありがとうございます。

回答No.2

koko_u_

S = 1 + 2 + … + n

を求めるときに

S = n + (n-1) + … + 1

を足して

2S = (n+1) + (n+1) + … + (n+1) = n(n+1)

とするのと似たような感じですかね。