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あるポアソンの方程式の問題。

「半径Rの無限に長い円筒の内部に一様な密度ρで分布した電荷による電位を、ポアソンの方程式を解くことによって求めよ。」 という問題があるのですが、解答では中心軸をZ軸として、中心から距離r = √x^2 + y^2の距離の電位Φ(r)を求めているのですが、このときのポアソンの方程式の立て方が分かりません。 元の式は Φxx + Φyy = -ρ/ε だと思うのですが、上記のようにrに置き換えた場合どういう式の変形の方法でrでポアソンの方程式を作るのでしょうか? よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • Meowth
  • ベストアンサー率35% (130/362)
回答No.2

軸対称の2次元球座標のラプラシアンをつかって grad=er∂/∂r+eθ/r∂/∂θ divgradφ=(er∂/∂r+eθ/r∂/∂θ)・er∂φ/∂r =∂/∂r(∂φ/∂r) +1/r∂φ/∂r 1/r∂(r∂φ/∂r)/∂r=-ρ/ε0

nabewari
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 計算してみます。

その他の回答 (1)

  • siegmund
  • ベストアンサー率64% (701/1090)
回答No.1

> 元の式は > Φxx + Φyy = -ρ/ε > だと思うのですが、 おっしゃるとおりです. ∂/∂x = (∂r/∂x)(∂/∂r) + (∂θ/∂r)(∂/∂θ) などを繰り返し丁寧に使うだけです. 「ラプラシアン,円筒座標(or 2次元)」 などで検索してみて下さい. このサイトでも,すでに回答があります. ベクトル解析の本にも(多分)必ず載っています.

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