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期待値の加法性の証明法

  • 質問No.4215243
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お礼率 53% (37/69)

確率変数Zの確率密度関数をpとするとき,Zの期待値は

E[Z] = ∫{z p(z)}dz
(ただし積分範囲はZの定義される空間全体)

で定義されますが,期待値の加法性:

E[X + Y] = E[X] + E[Y]

はどのように証明できるのでしょうか?

証明もしくは証明が載っている文献を教えて頂ければ幸いです。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.6
  • ベストアンサー

ベストアンサー率 23% (3656/15482)

ところで, 期待値の加法性は独立でなくても成り立つんだけど, そのことは気付いてる?

その他の回答 (全7件)

  • 回答No.8

ベストアンサー率 30% (100/331)

つっこみがはいっているな
こんなこと教科書で勉強している奴もいるんだね
まー
独立の前提がないんなら
X,Yの同時密度をp(x,y)としてやれ
することはほとんどなくなるね
この場合は独立のほうが少しはやった気がするんだけどね
解決したら閉めきれ
  • 回答No.7

ベストアンサー率 55% (246/440)

確かにおっしゃるとおりですね >#6 さん
E[X+Y] = E[X] + E[Y] を証明するのに X, Y が独立であることを条件に入れるのは、まあ、なんと言うか、ちょっとねえ・・・・。

教科書に載ってないんですか?
同時確率密度を使って積分するのですけど。参考まで。
http://www1.parkcity.ne.jp/yone/math/mathB03_19.htm

最後に、
> E[X + Y] = ∫{(x+y)p(x+y)}dz
は、むごいです。自分でよく考えましょう。
  • 回答No.5

ベストアンサー率 30% (100/331)

>E[X + Y] = ∫{(x+y)p(x+y)}dz
がおかしい理由なんてすぐ分からんのか

X,Yの絡みを考えるということは
X,Yが同時に生じる確率を考えるということだ
X,Yが独立である時に
その密度は
Pxy(x,y)=q(x)・r(y)
だろうが

分かったらさっさと締め切んしゃい
  • 回答No.4

ベストアンサー率 23% (3656/15482)

∫[f(x)+g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
でしょ?
2変数でも同じ.
  • 回答No.3

ベストアンサー率 30% (100/331)

>E[X + Y] = ∫{(x+y)p(x+y)}dz

はおかしい
以下断らない限り積分範囲は実数全体
E[X+Y]=∫∫dxdy・(x+y)・q(x)・r(y)
じゃ
この式を使ってもう一度やってみい
補足コメント
blueblink

お礼率 53% (37/69)

ありがとうございます。新しい式を使えば加法性を証明できました。

E[X+Y] = ∫∫dxdy・(x+y)・q(x)・r(y)
= ∫∫(x+y)q(x)r(y)dxdy
= ∫{∫(x+y)q(x)dx}r(y)dy
= ∫{∫xq(x)dx + y∫q(x)dx}r(y)dy
= ∫(E[X]+y)r(y)dy
= E[X]∫r(y)dy+∫yr(y)dy
= E[X] + E[Y]

ただ,自分が最初に書いた式が間違っている理由がまだ分かっておりません。この点をもう少し考えてみます。
投稿日時:2008/07/30 18:41
  • 回答No.2

ベストアンサー率 23% (3656/15482)

(条件はあるけど) 積分と加算は交換できるんじゃないの?
補足コメント
blueblink

お礼率 53% (37/69)

ご回答いただきありがとうございます。
すみません、「積分と加算が交換できる」の意味がよくわかりませんでした。補足いただければ幸いです。
投稿日時:2008/07/30 17:20
  • 回答No.1

ベストアンサー率 30% (100/331)

X,Yが独立の場合に
それぞれ密度をq(x),r(x)としたときの
E(X+Y)
を算出する式を補足に書け
補足コメント
blueblink

お礼率 53% (37/69)

早速ご回答頂きありがとうございます。
簡単のためX, Yが実数空間で定義された確率変数であるとします。この仮定により,以下の式で積分範囲はすべて実数空間全体となります。

期待値の定義式:E[Z] = ∫{z p(z)}dz に,Z = X + Y を代入して,

E[X + Y] = ∫{(x+y)p(x+y)}dz
= ∫[(x+y)∫{q(t)r(x+y-t)}dt]dz
= ∫[z∫{q(t)r(z-t)}dt]dz
= ?

…すみません。行き詰まりました。

一方,
E[X] + E[Y] = ∫{x q(x)}dx + ∫{y r(y)}dy
= ∫{z q(z)}dz + ∫{z r(z)}dz
= ∫[z {q(z) + r(z)}]dz
投稿日時:2008/07/30 17:19
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