ポワソン分布の再生性

質問

これの意味するところはわかるのですが、数学的な証明が私の計算力では追いつきません。

どなたか分かる方がいらっしゃいましたら、ご教授お願い致します。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

互いに独立な確率変数 X, Y が平均 λ1, λ2 のポアソン分布に従うとき、Z = X + Y の確率分布を求める。

Z = n になる確率は、P(・) を確率として P( ( X = i ) ∧ ( Y = n - i ) ) という同時確率の i = 0, 1, 2, ... , n の和。
また、X, Y は独立より、P( ( X = i ) ∧ ( Y = n - i ) ) = P( X = i ) P( Y = n - i )
以下、少々丁寧に、
P( Z = n ) = Σ[i=0,n] P( ( X = i ) ∧ ( Y = n - i ) )
　　　= Σ[i=0,n] P( X = i ) P( Y = n - i )
　　　= e^(-λ1) e^(-λ2) Σ[i=0,n] (λ1^i ) (λ2^(n-i) ) / ( i ! ・ (n-i) ! )
　　　= e^( - (λ1 + λ2)) ( 1 / n ! ) Σ[i=0,n] [ { n ! / ( i !・(n-i) ! ) } (λ1^i ) (λ2^(n-i) ) ]
　　　= e^( - (λ1 + λ2)) ( 1 / n ! ) Σ[i=0,n] ( n Ｃ i ) (λ1^i ) (λ2^(n-i) )
（ 二項定理より Σ[i=0,n] ( n Ｃ i ) (λ1^i ) (λ2^(n-i) ) = (λ1 + λ2)^n )
　　　= e^( - (λ1 + λ2)) ((λ1 + λ2)^n) / n !
λ = λ1 + λ2 とおけば
P( Z = n ) = e^(-λ) (λ^n) / n !
∴　Z = X + Y は平均 λ = λ1 + λ2 のポアソン分布

難しい計算をしなければならないわけじゃあない。もう少し計算に慣れましょう。そのためには、ご自分でとにかくもう一度計算してみる。
（習っているなら）積率母関数を用いて証明することもできますから、調べてみてください。

お礼

回答ありがとうございます。

昔から単純な計算が苦手で申し訳ないです……。
本は結構漁ったのですが、再生性がある、との記述だけで実際に証明が載っているものが見つからなかったので質問させて頂きました。

ご回答のほう、ありがとうございました。