BMIは何故身長の二乗で割るのか

質問

通常、物の体積は一定方向のみに伸びないのであれば長さの3乗に比例します。
単純に考えて、人の体の場合にもそれが成り立ちそうなのですが、BMIは身長の2乗で割って判断していることからどうも成立しないように思われます。これは統計的データから得られたものなのか、もしくは何か理論的な根拠があるものなのか・・・気になったので質問してみました。詳しい方が居ましたら回答宜しくお願いします。

回答No.2

anaguma99

統計上そのようになったということでしょう。

例えば165cmでBMI22が標準であるとするとき、
3乗で計算するBMI-2というものを想定すると、
このときの標準は13.33になります。

これに基づいてBMI（2乗）とBMI-2（3乗）について
身長別の標準体重を計算してみると

（数字は、身長、BMIの標準体重、BMI-2の標準体重）
150,49.5,45.0
155,52.9,49.7
160,56.3,54.6
165,59.9（どちらも同じ）
170,63.6,65.5
175,67.4,71.4
180,71.3,77.8

となります。
明らかに150cmの45kgはやせすぎであり、
180cmの77.8kgは太りすぎです。

例えば、身長150cmの人と180cmの人の脳の大きさが
3乗だから180cmの人の方が1.7倍も大きいということはないのであり、
身長に応じて縦・横・高さが
それぞれ大きくなっているわけではなく、
概ね２乗程度で大きくなっているということなのでしょう。

おそらく、180cmの人間を
縦・横・高さをそのまま150cmに小さくしたら
頭が小さくて妙に細い感じで何か違和感を感じるはずです。

お礼

ガメラやウルトラマンがあの身体で再現されるとすると、自重すら支えられないのと同じ原理ですね。やはり標準体重が"統計的に"判断されている以上、BMIも統計的なものだと割り切るしかないのでしょうかね。

回答No.1

chie65536

＞通常、物の体積は一定方向のみに伸びないのであれば長さの3乗に比例します。
だからこそ、２乗で割るのです。

身長をa、体重をbとすると、a×a×aがbに比例します。

ここで、a×a×a'がbに比例する、と変形します。

式を等式に変更すると、a×a×a'＝b、となります。

この等式で、a(身長)を固定したまま、b(体重)を増やすと(つまり、太ると)a'が大きくなります。

つまり、a'の数値で「太り度」が表せます。

a×a×a'＝bの式の、両辺をa×aで割ると「a×a×a'÷(a×a)＝b÷(a×a)」となり、整理すると「a'＝b÷(a×a)」となります。

「a'はBMI値」「a×aは身長の２乗」「bは体重」ですので「BMI値＝体重÷身長の２乗」となります。

お礼

しまった・・・肝心なことを書くのを忘れてました。あれでは当然のことをやっただけで、？ですねf(^^;
補足は一回までなので早々回答お礼となってしまいましたがご了承を。

kが無次元ではなく、長さの一乗のユニットを持つのだということが言いたかったのです。勿論これは定義式から入り、BMIを分解してみただけなので当然と言えば当然なのですが・・・。
しかし、まだちょっと腑に落ちない感覚があります。もう少しゆっくりと考えてみます…。でも、最終的には"統計上"という言葉がどこかで意味を成していることを忘れてはいけませんね(^^;

補足

なるほど、ここでもう少し考えてみました。

分かりやすくするために、身長をl[m], 密度をd[kg*m^-3], 体重をb[kg], 次元の無い定数をkとおくと、

l^2*d*k=b 　

となり、BMI=d*kで与えられるかなと一瞬考えたのですが、これだとBMIがdをリニアに表すのですぐにおかしいことだと気付きます。ということは、BMIは密度と長さのそれぞれ一乗したユニットをもつ、即ち重さを表面積で割ったもの、ということになりそうです。

と、いうことは…そもそもBMIが長さの次元を持たないと思っていた自分の思い込みが間違いだった、と考えたら宜しいみたいですが、如何でしょう？？