サイコロゲームの順位の確率

質問

確率の問題ですが、計算の方法が分かりません。

ここに6面体のサイコロ（出る目の確率は等しく1/6）が数個あります。
Ａさんは3個、Ｂさんは4個、Ｃさんは5個、Ｄさんは6個、Ｅさんは7個それぞれ振って各々出た目の合計を得点とし、得点の一番高い人から順に1位、2位…となります。

この場合、Ｄさんが1位になる確率と、2位になる確率は計算できますか？
総当たりで計算すればなんとかなりそうですが、もしそれ以外の方法があれば教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

20080715 · ベストアンサー

A,B,C,D,Eの得点が順に、10点, 15点, 20点, 20点, 20点のときには、
1位: C,D,E
4位: B
5位: A
というように考えるものとします。
(この場合には2位と3位の人はいないということになります。)

m個のさいころを振るときの 6^m 通りの目の出方のうち、
出目の合計がちょうどnになるような場合の数をf(n,m)とすると、
f(n,m)=Σ[i=0,floor((n-m)/6)](C(m,i)*(-1)^i*C(n-6*i-1,n-m-6*i)).

Ｄさんが1位になる確率は、
(1/6^25)*Σ[k=7,36](f(k,6)*(Σ[n=0,k]f(n,3))*(Σ[n=0,k]f(n,4))*(Σ[n=0,k]f(n,5))*(Σ[n=0,k]f(n,7)))
=8187165970899005562/6^25
=1364527661816500927/4738381338321616896
=0.287973…

Ｄさんが2位になる確率は、
(1/6^25)*
(Σ[k=6,17](f(k,6)*(Σ[n=k+1,18]f(n,3))*(Σ[n=0,k]f(n,4))*(Σ[n=0,k]f(n,5))*(Σ[n=0,k]f(n,7)))
+Σ[k=6,23](f(k,6)*(Σ[n=0,k]f(n,3))*(Σ[n=k+1,24]f(n,4))*(Σ[n=0,k]f(n,5))*(Σ[n=0,k]f(n,7)))
+Σ[k=6,29](f(k,6)*(Σ[n=0,k]f(n,3))*(Σ[n=0,k]f(n,4))*(Σ[n=k+1,30]f(n,5))*(Σ[n=0,k]f(n,7)))
+Σ[k=6,41](f(k,6)*(Σ[n=0,k]f(n,3))*(Σ[n=0,k]f(n,4))*(Σ[n=0,k]f(n,5))*(Σ[n=k+1,42]f(n,7))))
=13219774696111208808/6^25
=550823945671300367/1184595334580404224
=0.464989…

お礼

さっそくの回答ありがとうございます。

式を解読するのにちょっと時間かかりましたが、条件を満たす全組み合わせを求めて、サイコロ6個での総組み合わせで割ってるんですね。
そのやり方は考えましたが、こんがらがって挫折してました。思ってたよりもすっきりした式になるんで驚きました。

4回に3回は2位までになるという結果にもちょっと驚いてます。なんとなく5割くらいかな、と思っていたもので。

自力では無理だったので助かりました。本当にありがとうございました。