示す問題

質問

[例題i]
(a+b)/2≧√(ab)を示せ

[例題ii]
任意の(x, y)≠(0, 0)に対し、常にx^2+(a+b)xy+y^2＞0が成立するとき
1-ab＞0となることを示せ

例題iの方は「問題の意味は分からないながらもこうするしかないな」という
考えから与式を変形し、それが偶々正解でしたが、何を以て示したことになっ
たのか分かりません。

例題iiに到っては何をすればよいのか分からなかった為、何も書くことが出来ず
不正解でした。

「示せ」は「証明せよ」とは違うんですよね。
でもその違いがよく分かりません。どうすれば示したことになるのですか？

回答No.2

Quattro99

もしかして、x^2-(a+b)xy+y^2>0ですか？また、a>0、b>0という条件がありますか？
そうであれば、
x^2-(a+b)xy+y^2
=(x-y)^2+{-(a+b)+2}xy>0で、(x^y)^2≧0、xy>0から
-(a+b)+2>0
1>(a+b)/2≧√(ab)となるので、
1>√(ab)>0　（［例題i］より）
1>ab
1-ab>0
となります。

回答No.1

take_5

＞「示せ」は「証明せよ」とは違うんですよね。

「示せ」という事は「成立する事を示せ」という事だから、「証明せよ」と同じ。

＞[例題ii]
＞任意の(x, y)≠(0, 0)に対し、常にx^2+(a+b)xy+y^2＞0が成立するとき1-ab＞0となることを示せ

xとyは共に0ではないから、y＾2で両辺を割り、x/y＝tとすると、（t≠0）左辺：t＾2＋（a+b）*t＋1＞0が恒等的に成立するから、判別式＜0.
従って、（a+b）＾2-4＜0.
これから、｜a+b｜＜2.‥‥(1)と1-ab＞0　‥‥(2)をab平面上に図示すると、成立が理解できるだろう。

（別解）

a+b＝m、ab＝nとすると、m＾2-4n≧0、｜m｜＜2であるから、これらをmn平面上に図示すると、n＜1は自明。