格子の面間隔について

質問

お世話になってます立方格子の面間隔について教えていただきたいのですが格子定数がaとしたときミラー指数（１１０）の面間隔についてですが

面心立方格子はa/2√2、体心立方格子の場合a/√2となりますよね？

面心立方格子がこうなる理由が分からないです。

これはxyzの座標軸を取った時に真上から見るとx＝ｙ＝a/2となるところに原子が存在するということでこのような長さになるのでしょうか？
それともこの考え方ではおかしいのでしょうか。
だとすると体心立方と面心立方各々の（１１１）での面間隔はどのようになるのでしょうか？

分かりにくい日本語になってしまいましたが、どなたか教えてください。
お願いしますm(__)m

回答No.3

kenojisan · ベストアンサー

回答２の回答者です。

> 結晶の全体構造をとらえるためには「単位構造」で考えた方がよいが、面間隔などを求めるためには「最小単位構造」で考えた方がよいということなのでしょうか？

基本単位構造の作り方はいくつも有りますし、たいていの場合には分かりにくい形になるので、必ずしもお勧めでは無いですが。何故、単位構造の基本面間隔が本当の面間隔にならないのか？という理解の１方法と思います。

> もう一つ分からないことがあるのですが、面心立方（１００）の間には（２００）面が存在するとのことですけど（１００）面の間には（1/2　００）面があるように思えるのですがどうして（1/2 0 0 ）ではなく(2 0 0 )と表せるのでしょうか？

ミラー指数(h,k,l)の定義は、それぞれの座標軸の単位格子位置の1/h,1/k,1/lの切片を含む面であることを忘れていませんか？つまり、面指数の場合には、数字が大きい方が原点に近い面になります。格子位置を表す方向ベクトルの指数とは大小関係が逆になりますので、注意してください。
なぜ、こういう変な指数定義をするかというと、この先に結晶構造やそれに関連した物理現象を考えていくのには、結晶の格子or面間隔よりもその逆数を使うことの方が圧倒的に多いからです。それで、結晶構造解析などでは、格子位置の逆数を使った「逆格子空間」というものを頻繁に使います。この逆格子空間ではミラー指数の定義が便利なわけです。

お礼

たびたび回答ありがとうございます。

自分が考えやすいように「最小単位構造」と「単位構造」をうまく使い分けていかないといけないのですね。

ミラー指数(h k l)の定義もどうも理解してなかったみたいです。
勉強がどうも足りてなかったみたいです。

２度も回答して下さってありがとうございました。

回答No.2

kenojisan

結晶構造を勉強する時に良く悩む問題ですよね。
立方格子の場合には、ミラー指数（hkl）の面間隔は格子定数／√（h^2+k^2+l^2）で間違い無いのですが、（110）指数面での隣接面間隔と言う意味では、その1/2になります。それは、質問者さんの予想される通りのことが理由で、面心位置の原子で（220）面が出来るからです。

通常、結晶構造を分かりやすくするために、「単位構造、unit cell」と呼ばれる構造で説明をします。これが良く使われる、面心立方や体心立方の図です。
しかし、気をつけないといけないのは、これは結晶構造の最小周期構造では無いということです。結晶の最小周期構造なら、その中に原子１個分しか含まれていないはずですが、面心立方は４個、体心立方は２個も含まれちゃってますよね。
つまり、最小繰り返し構造になっていない面心立方や体心立方の基本面、（100）面や（110）面は必ずしもその方向の隣接面になっていないということです。
分かりやすいのは、面心立方の（100）面ですね。間に面心原子を含む（200）面が存在しますから、＜100＞方向の本当の最短面間隔は（200）面で考えるべきですね。
本当は、最小単位構造「基本単位構造、primitive unit cell」で説明すれば良いのですが、これだと繰り返し構造が対称性の悪い形になって、直感的に結晶の全体構造がとらえにくいですし、化合物などのような異種原子を含む構造への発展形が理解しにくくなりますからねぇ。
Ｘ線回折の教科書などでは、単位構造の基本面による回折が出てこない理由を、消滅則という考え方で説明していますが、私はどうもあの説明がぴんと来ませんでしたので、上記のような単位構造と基本単位構造の関係で理解しています。ただ、結晶構造と回折原理を系統的に理解しようとするなら、消滅則で理解した方が便利なようです。

なお、（111）面に関しては面心立方では隣接面になっていますが、体心立方ではその1/2の（222）が隣接面になっています。

お礼

早速回答ありがとうございます。
解答者さんの説明で何となく分かってきたようなもののいまいちピンとこないです。（私の勉強不足が原因ですが・・・）。
結晶の全体構造をとらえるためには「単位構造」で考えた方がよいが、面間隔などを求めるためには「最小単位構造」で考えた方がよいということなのでしょうか？

もう一つ分からないことがあるのですが、面心立方（１００）の間には（２００）面が存在するとのことですけど（１００）面の間には（1/2　００）面があるように思えるのですがどうして（1/2 0 0 ）ではなく(2 0 0 )と表せるのでしょうか？
自分でも調べてみますがもしよろしかったら教えて頂けるとありがたいですm(__)m

ありがとうございました。

回答No.1

htms42

ミラー指数が決まると面の向きが決まります。
ミラー指数（１１０）とはどういうことでしょう。
ベクトル（１１０）で決まる方向に垂直な面という意味です。
ｚ軸に平行になります。
「真上から見たときに」というのはここから決まるのです。でも体心がわかって面心が分からないということは「ベクトル（１１０）の方向に垂直な面」という意味は分かっていなかったような感じがしますね。

ｘｙ面内の原子の配置を４ユニット（ｘ：０～２ａ、ｙ：０～２ａ）程書いてみて実際に線を引いてみてください。

ミラー指数が（１１１）であればベクトル（１１１）の方向に垂直な面です。

お礼

早速回答ありがとうございます。
（１１０）ときたら直観的にｚ軸に平行な面を書いてはいましたがベクトル（１１０）に垂直な面という事は分かっていなかったみたいです。

早速図を描いてみようと思います。
ありがとうございました。