重心の振動運動と速度の求め方
- 質問文章では、質量mと2mの質点がばねで接続されており、振動しながら並進運動している状況を考えています。
- この場合、重心の速度を求めるために重心座標と換算質量の概念を用いて運動方程式を導出します。
- 運動方程式には、質量mと2mの質点に働く力の合計を考慮する必要があります。しかし、重心に直接働く力は存在せず、力の合計は-kdと表されます。
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重心の運動
質量ｍ、２ｍの質点が、自然長ｌ、ばね定数ｋのばねで接続されている。 この一連の物体が振動しながら並進運動している時、重心の速度を求めよ。 ただし、質量ｍの質点の位置はｘ１、２ｍはｘ２、重心はｘ３とする。 (右向き正の一次元運動とし、x1<x2) という問題です。以下微分は’で表現します。 重心座標 ｘ３＝(mx1 + 2mx2)/(3m) 換算質量 μ＝2m^2/3m ばねの伸び d=x2-x1-l だと思うのですが、重心の運動方程式は μx3''=-kd でしょうか？仮にこれの場合、積分定数をv0として、 重心速度 v=x3'=(-kd/μ)t + v0 となるのでしょうか？ 重心などの２体問題が非常に苦手で、どう解いていいのか混乱してしまいます。 この場合、重心に直接働く力は無いと思うのですが、運動方程式に書く場合はどうすればよいのでしょう？２つの質点に働く力の合計でしょうか？(それだと異符号かつ絶対値同じで０になる気がしますので、上の解答では-kdだけ書きましたが・・・。) また、質量は換算質量でよいのでしょうか？それとも全質量でしょうか？ ご教授の程、よろしくお願い致します。
- DNR
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重心の運動方程式における座標はもちろん質問の中にある 「重心座標 ｘ３＝(mx1 + 2mx2)/(3m)」 ですね。結果的に/3はなくても同じですが。 また，相対変位はふつう 自然長をLとして， X2 = x2 - x1 - L = d にとります。 すると相対運動の運動方程式は， μX2'' = - kX2, μ=2m/3 となります。 もう少し一般化した運動方程式を立ててみましょう。 簡単に質点m1，m2が相互作用fを及ぼしあって，外力ゼロとします。 m1について：m1x1'' = f m2について：m2x2'' = -f 辺々加えて m1x1''+m2x2'' = 0 これが重心の運動方程式ですが，これは M X'' = 0 M=m1+m2 ,X=(m1x1+m2x2)/M と書くことによって一層その意味がはっきりします。 これは，外力0の場合積分して運動量保存則になることに注意 しましょう。重心の等速度運動は，系の運動量保存則と同値です。 一方，上２式からx=x1-x2（もちろんx2-x1でもよい）を座標 （1，2の相対座標）とする運動方程式をつくれば， μx'' = f 1/μ = 1/m1 + 1/m2 ，x=x1-x2 となり，ここに出てくるμなるものが換算質量というわけです。 これを相対運動の（相対座標についての）運動方程式といいます。 x1，x2の運動方程式は，一般に連立微分方程式になりますが， X，xの運動方程式は相互に座標が入り込まないそれぞれに独立した 微分方程式になるため，比較的簡単に解けるわけです。
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- yokkun831
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重心の運動方程式というのは，系を１体としてまとめたものの 運動方程式ですから，換算質量ではなく合計質量を用います。 外力ゼロならば当然右辺はゼロで，結果は等速度運動です。 換算質量は，２体の相対変位に関する運動方程式に用いるものです。 いずれにせよ，一度２体のそれぞれについてしっかり運動方程式を 書かれることをおすすめします。両者から重心の変位がしたがう 運動方程式と，相対変位がしたがう運動方程式とが導かれます。 これは単に微分方程式の簡単な変数変換の問題です。 この作業を一度しっかりやっておくと自信がつきますよ。
補足
ご解答ありがとうございます。 mx1''=kd -(1) 2mx2''=-kd -(2) これらから2つの方程式を得るということは、 (1)＋(2)より m(x1''+2x2'')=0 (重心の変位が従う運動方程式) (1)-(2)より m(x1''-2x2'')=2kd (相対変位が従う運動方程式) ということでしょうか？ 変数変換というのは、左辺()内を新たな変数Xに置き換えるということで、この場合だと、 X1''=x1''+2x2'' X2=x1''-2x2'' X1:重心の変位 X2：相対変位 となり、この問題の解答は、X1'=v0 (v0:積分定数) であっているでしょうか？
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