数的処理で解説を見ても私の解法でなぜ解けないのかがわかりません。

質問

数的処理というジャンルの問題をやっています。
１度目は解けなかったのですが、
解説を見てもいまいち理解できなかったので、
何度か日をおいて自分なりにチャレンジしてみているのですが、
いよいよ解けなさそうなので、
質問させていただきます。

問題は

ＡとＢの2人がじゃんけんをして、
勝ったほうが袋から球を１個取り出して、
その色によって点数が決まるゲームを行った。

袋の中に入っている球は赤２個、白１個、青３個であり、
それぞれを取り出した場合の点数は赤が３点、白が５点、青が２点。

ＡとＢはこのゲームを６回行うことにした。
ゲームが４回終了した時点での合計点はＡが８点で、
Ｂが４点であった。

この後、６回が終了した時点でＢの点数がＡを上回っている
確立はいくらか。

ただし、じゃんけんをしてあいこの場合は
ＡとＢのいずれも袋から球を取り出さないで、次のゲームに進むこととし、取り出した球は元に戻す。

というような問題です。
私のような数学苦手人間はこれだけでも嫌気がさしますが、
なんとか自分なりにがんばってみた結果としては下記になります。

４回を終わった時点でＡが８点、Ｂが４点だから
その点の取り方はＡが２回勝って、２回負けた場合で、
（赤、白、負け、負け）と
Ｂも２回勝って、２回負けた場合で、
（青、青、負け、負け）
このとり方しかないと思いました。

ここで、ＢがＡに勝つためにではなく確率の余事象的な考え方で
１－Ｂの点がＡの点を下回っている確立
を求めればＢの点がＡの点を上回っている確立がわかるとおもいつきました。

そうすると残り５回と６回でＢの点がＡの点を下回ろうと思うと、
２回とも負けるか、２回ともあいこか、
１回かって、１回あいこで、勝った分は赤か青をとる、
１回かって１回負けるで、勝った分は赤か青をとる。

以上のとり方が考えられると思います。

ここで、それぞれの確率を求めると、
２回とも負ける1/3*1/3
２回ともあいこ1/3*1/3
１回かって、１回あいこで、勝った分は赤か青をとる1/3*1/3
１回かって１回負けるで、勝った分は赤か青をとる1/3*1/3

よって1/3*1/3+1/3*1/3+1/3*1/3+1/3*1/3で1/9*4で4/9

1-4/9で5/9がＢがＡの点を上回っている確率になるのではないかと思いきや答えは13/108です（＾＾；）

昔から数学がものすごく苦手で
つらい毎日ですが私でもわかるような解説ありましたら、
教えてください。

回答No.4

kumipapa · ベストアンサー

＞　この文だとどう考えてもあいこの場合だけ取り出した球を元に戻すという意味に見てしまうのですが、、、。

いや、申し訳ないけど笑った。たしかに、つらい日が続きますね。私は、一読して、「んっ？・・・球は毎回もどすという意味か・・・不親切な問題文だね、こりゃまた」と思いました。

問題文もうまくないかもしれないけれど、しかし、問題の誤読は別として（つまり、球を戻さないとしても）、質問者さんの解答は間違いなので、その点を見過ごしちゃいけないんじゃないかな。

＞　４回を終わった時点でＡが８点、Ｂが４点だから、その点の取り方はＡが２回勝って、２回負けた場合で、（赤、白、負け、負け）とＢも２回勝って、２回負けた場合で、（青、青、負け、負け）。　このとり方しかないと思いました。

その通りなんですが、そう考えたのならば、玉の残りは 赤１個、青１個の2個だけ（5点分）ですから、残り 2 回でＢがＡを上回るには、とにかくＢが 2 回とも勝たないといけないのは明らかですよね。2 回勝てば、必然的に玉は 5 点分ゲットできるので、玉の取り出し方を考える必要はない。よって、ＢがＡを上回る確率は、2 回ともＢがじゃんけんに勝つ確率で 1/3 × 1/3 = 1/9 と考えるのが普通じゃないかな。

余事象の確率を求めるという、とてつもない遠回りをしようとした理由も良く分かりませんが、質問者さんの解答が 5/9 となってしまったのは問題文の誤読とは別に間違いがあるということです。

＞　そうすると残り５回と６回でＢの点がＡの点を下回ろうと思うと、
＞　２回とも負けるか、２回ともあいこか、
＞　１回かって、１回あいこで、勝った分は赤か青をとる、
＞　１回かって１回負けるで、勝った分は赤か青をとる。

「１回負けて１回あいこ」の場合が抜けています。場合を列挙するときには、洩れなく列挙するように意識的に工夫をしましょう。

＞　ここで、それぞれの確率を求めると、
＞　２回とも負ける1/3*1/3　　・・・　そのとおり
＞　２回ともあいこ1/3*1/3　　・・・　そうですね
＞　１回かって、１回あいこで、勝った分は赤か青をとる1/3*1/3　・・・　違います
＞　１回かって１回負けるで、勝った分は赤か青をとる1/3*1/3　　・・・　これも違う
これに、１回負けて１回あいこ　となる確率も足すんだけど・・・
１回勝って、１回あいこの場合は、５回目に勝って６回目があいこであるか、５回目にあいこで６回目に勝つかの2通りあることを考え落としています。１回勝って１回あいこの確率は、2 Ｃ 1 × 1/3 × 1/3 = 2 / 9 です。1回勝って１回負けるも同じ。また、1回負けて1回あいこも同じ。
以上、すべての場合の確率を足してＢがＡを上回らない確率は8 / 9
よって、B が A を上回る確率は 1 - (8/9) = 1 / 9
です。

玉を戻す場合も、#2 さんがおっしゃるように余事象なんか考えない方がずっと早いんだけど、練習だと思って、玉を戻す場合についてもちゃんと正解 13 / 108 が得られるまで余事象で計算してみたらどうでしょう。その際には、AとBが同点になる場合も余事象に含めることを忘れないようにしましょう。

お礼

やはり問題文が不親切だったようですね。

しかしそれでもわかる方はわかるということでうね。
感服いたしました（＾＾；）

どっちみち私は間違っていたと。。。
なれてます。。。。はい（T＿T）

たしかに毎回元に戻すにした方がよく理解しやすいです。

回答No.3

Quattro99

> ただし、じゃんけんをしてあいこの場合はＡとＢのいずれも袋から球を取り出さないで、次のゲームに進むこととし、
これは、
> じゃんけんをしてあいこの場合はＡとＢのいずれも袋から球を取り出さないで、次のゲームに進むこととし
と
> 取り出した球は元に戻す
の2つの取り決めを1つの文で言っているのだと思います。しかし、これが出題文のままだとすると、とてもわかりにくい文になっていて不親切だと思います。

・じゃんけんで勝ち負けが決まった場合は勝った方が玉を一つ取り出し、その色によって所定の点を得る。取りだした玉は元に戻す。
・じゃんけんがあいこだった場合はその回はそれで終了する。
ということだと思います。あいこの場合は玉を取り出さないので、戻す戻さないということ自体がありません。

お礼

問題文そのままです。

そうですよね。
わかりにくいですよね。

でもQuattro99様はおわかりになられたので、
感服いたしました。

わかりやすく教えていただきありがとうございました！

回答No.2

Quattro99

> ４回を終わった時点でＡが８点、Ｂが４点だから、その点の取り方は
この問題の場合、この部分を考える必要はありません。4回を終わった時点で問題に提示された状態になったという条件が付いている条件付確率です（その条件はすでに起きたものとして扱うので、あえてその条件が起きる確率を言うなら、その確率は1です）。

残りは余事象で考えるよりも普通に考えた方が簡単な気がします。
Bはあと2回で5点以上勝たないと逆転できませんから、一度も負けられません。1回引き分け1回勝ちか、2回とも勝つかどちらかです。
さらに、1回引き分け1回勝ちの場合は白玉を引かねばなりません。
2回とも勝った場合は、2回とも青玉以外なら逆転できます（ここは余事象で考えた方が簡単だと思います。

前者の確率は、
(1/3)*(1/3)*2*(1/6)=1/27です。1/3は引き分ける確率と勝つ確率です。2は5回目と6回目のどちらで勝つかの2通りの2です。1/6は白玉を引く確率です。

後者の確率は、
(1/3)*(1/3)*{1-(1/2)*(1/2)}=1/12です。1/3は勝つ確率。1/2は青玉を引く確率。1から引いているのは2度とも青玉を引く場合を除いた場合の確率を求めるためです。

これらを足し合わせて解答が得られます。

※ このサイトでは自動的に改行されます。段落をかえるなどの意図的な改行以外は自動改行にまかせていただいた方が読みやすくて助かります。

お礼

お～ほんとに13/108になっていますね。
すごいです。

少しわからないところがあるのですが、
それは問題文で
＞ただし、じゃんけんをしてあいこの場合はＡとＢのいずれも袋から球を取り出さないで、次のゲームに進むこととし、取り出した球は元に戻す。

というところなんです。。。
これって取り出した球はあいこの場合だけ取り出した球を元に戻すという意味ではなくて、毎回取り出した球を元に戻すという意味なんですか！？

この文だとどう考えてもあいこの場合だけ取り出した球を元に戻すという意味に見てしまうのですが、、、。

Quattro99様の解説は私のもつ解説よりも丁寧で私でも理解できました。しかしこのように問題文の意味を取り違えていて、
よく私は勘違いをして間違ってしまうのです。。。

私の解釈はとれなくもない範囲なのか、根本的に読み方が間違っているのでしょうか？

補足

すみません、
またわからないところがでてきてしまったのですが、

＞(1/3)*(1/3)*{1-(1/2)*(1/2)}=1/12です
は理解できるのですが、
この余事象をつかわない場合を考えてみたときに
５回と６回のとり方は青以外ですから、
白赤、赤白、赤赤の３通りです。

そして全体が６個あって２個取り出すので、
６Ｃ２としたのですが、これだと赤赤がかぶってしまうことに気づき、２回とも６個の中から１個選ぶ方法なので、６Ｃ１×６Ｃ１としたのですが、これでも赤赤などかぶってしまうので、
樹形図で書き出してみて
赤ー赤、赤ー白、赤ー青と
白ー赤、白ー青と
青ー赤、青ー白、青ー青で全部のとり方だと思いました。

よって3/8となるのかなと思ったのですが、
また3/4とは違ってしまいました（＾＾；）

どこがわるいのでしょ～か～（；；）

回答No.1

voice_koe

とりあえず方針を。

玉の数が赤2個、白1個、青3個ですから、それぞれの確率1/3(=2/6)、1/6、1/2(=3/6)もあわせて考える必要がありますね。