微分方程式の問題なんですが・・・

質問

人口を N(t)，飽和人口をaとして人口の増加率N(t)N(t)が
a-N(t) に比例するとして成長曲線を考えた。
増加率は何故N(t)でなくN(t)N(t)なのか説明せよ。
またその解は人口予測として適当かどうか考えよ。

大学で微分方程式を受講しています。
教科書に上記問題が演習で載っているんですが、
答えが《省略》となっていて巻末に掲載されていません。

ちょっと微分方程式は今までの講義もよく分からず、
自分で勉強しようと思ったのですが、
最初からつまづいてしまい、ここに書き込ませていただきました。

もしおわかりになる方がいらっしゃいましたら、
お手数ですが、ご指導、よろしくお願いいたします。

回答No.4

yokkun831 · ベストアンサー

２です。
私の書いたもの
　N'/N = k (a-N)
の両辺にNをかければ，Wikipediaのロジスティック方程式
　N' = r(K-N)N
に一致します。ただし，ｋ->r，a->K と書き換えてください。
ロジスティック方程式の限界については，１さんから紹介の
あったWikipediaによく整理されていますね。ロジスティック
方程式のいわんとするところは，飽和人口というものが定数aと
して決まっていると仮定して，あと何人生きていける余裕が
あるか・・・(a-N)　に増加率が比例するという単純なものです
から，Wikipediaの「生物学的解釈」の箇条書きにあるような
要因をあげて，その限界性を述べれば題意としては十分では
ないでしょうか？

お礼

お礼が遅くなってしまい、申し訳ありません。

本当にわかりやすいご指導、有り難うございました。
自分でいくら考えても分からなかったので、
かみ砕いて説明していただいて、本当によく分かりました。

これからもっと頑張って行きたいと思います。
お手数をお掛けいたしましあt。
有り難うございました。

回答No.3

bibendumbibendum

１です。
私も少し言葉不足なところがあり、ΔNは増加量です。
２さんの説明は非常にわかりやすいですね。

質問の後半部分は私の参考URLを見てください。
２さんの式を変形をするとロジスティック方程式になります。

お礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ありません。

1様、2様、おふたりにわかりやすく説明していただき、
本当によく分かりました。
ロジスティック、という名前すら知らなかったので、
人口増加の問題がこの方程式で考えられるんだと言うことも
わからない状態でした。

本当にお手数をお掛けいたしました。
有り難うございました。

補足

丁寧なご指導、有り難うございます。
また、タイプミスでご迷惑をお掛けいたしました。

参考URL、拝見させていただきました。
ちょっと難しいことが多かったので、正直あんまり理解できていないのですが、
ロジティクスの方は、比例定数に、人口に比例する人口抑制作用を
付加して考えていますよね？

問題文から読み取ると、式自体は、２様のおっしゃったとおり、
K(a-N(t))となり、比例定数はKのままで、
それが、飽和人口から現在の人口を引いたものに比例していると思います。
この違いがいまいちよく分からないのですが、
あんまりこだわる必要はないところなのでしょうか？

もしよろしければ、ご指導いただけると嬉しいです。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

yokkun831

ΔN　は増加人数なので，Nで割って全人口に対する増加人数の
割合をとるわけです。割合とすることによって，全人口の大小に
かかわらず増える速さを比較できます。100人に対して1人増える
のと1000人に対して1人増えるのは違いますね。N'(t)=ΔN/Δt
は時間当たりに増加する実人数を示していますが，これでは
上の違いが表せないので，全人口N(t)で割って割合としての
増加の速さを示す量としてN'(t)/N(t)　を選んでいるのです。

題意は，微分方程式
　N'(t)/N(t) = k (a - N(t))　　k:比例定数
の解が人口推移モデルとしてどの程度妥当かということです。

補足

早速ご指導いただき有り難うございます。
また、問題文のタイプミスでご迷惑をお掛けいたしました。

前半部分の全人口に対する増加人口の割合のお話、
すごくよく分かりました。
単に増加人数だけを比較しても使えない結果しか出てこないんですね。

問題の後半なのですが、
人口予測モデルとして、どの程度妥当か、というのは、
何を基準に判定すればいいのでしょうか？
前半部分の人口増加（または減少）で、出生、死亡率などは
全部考慮してΔNを出しているんですよね？
そうすると、後半の比例定数kというのは、そのように判定すればいいのでしょうか？

引き続き、お手数をお掛けいたしますが、
ご指導お願いいたします。

回答No.1

bibendumbibendum

私は物理が専門で数学は門外漢なのですが、
ある関数N(t)があったとき、その増加率はΔNです。
増加率がN(t)N(t)に比例するというのではなく、増加率をN(t)N(t)と定義するというのは、みたことが無いです。
何か写し間違いしていませんか？

人口の問題は、普通ロジスティックモデルを使います。

http://www.geo.titech.ac.jp/fujimotolab/renewHP/numexe/manual/3/logistic.html

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/ロジスティック式

補足

すみません・・・。大変失礼いたしました。

増加率、正しくはN'(t)/N(t)です。

人口を N(t)，飽和人口をaとして人口の増加率N'(t)/N(t)が
a-N(t) に比例するとして成長曲線を考えた。
増加率は何故N'(t)でなくN'(t)/N(t)なのか説明せよ。
またその解は人口予測として適当かどうか考えよ。

これが正しい問題文です。
本当に失礼いたしました・・・。

増加率が、こんな分数型になっているものは参考書にも載って無く
ぜんぜん意味が分かりません。

もしおわかりになりましたら、ご指導いただけると嬉しいです。
お手数ですが、よろしくお願いいたします。