オシロスコープの測定値と実効電圧？

質問

オシロスコープで正弦波の最大電圧を求めたのですが、実行値に変換する際に√２で測定電圧を割らなければならないのはなぜなんでしょうか？
同様に矩形波の測定値を実効値に変換するときにはなぜそのままの測定値の値で実効値となるのでしょうか？
すごく困っています。教えてください。

回答No.7

inazu · ベストアンサー

inazuです。
先ほどの計算の詳細を書きます。参考にしてみてください。
ただし、若干数学の知識を必要とします。
”^2”は2乗の意味です。ですから，sin^2(T)はサインTの２乗という意味になります。他の方が説明しているのは，エネルギーを利用した”実効値”の定義です。私が説明しているのは計算上，よく用いられる考え方です。
まず√の中について，計算していきます。
1/(T/2)*∫Vm^2*sin^2(ωt)dt
ここでの積分範囲は，0～T/2(半周期)です。
ここで，置換します。ωt=t'と置くと(先ほどはTとしましたが，周期Tと混同しないためt’とします)
ωdt=dt’　…全微分
積分範囲は，　t　:0～T/2
　　　　　　　t’:0～ω*T/2
と変わります。ここで，T/2=π/ωであるから，(角周波数と周期の関係)
積分範囲は0～πになります。
よって，
Vm^2*ω/π*∫sin^2(t')*(1/ω)dt'　…積分範囲：0～π
Vm^2*1/π*∫sin^2(t)dt’　　　　…積分範囲：0～π
Vm^2*2/π*∫sin^2(t)dt’　　　　…積分範囲：0～π/2
上の式は，π/2を境にして，sin^2(t)のグラフが対称なので，半分を計算して2倍するというものです。
Vm^2*2/π*(1/2*π/2)　定積分の有名な公式を利用しています。参照URLにて確認してください。
よって，√の中がVm^2/2となり，全体ではVm/√2となるわけです。
もちろん，定積分のところは2倍角の公式を利用してもとけます。

参考URL：

http://www.linkclub.or.jp/~shiiki/intef.html#Label9

お礼

有難うございました。大変分かりやすく参考になりました。

回答No.6

mmky

＃７です。
正しい式
「Ｅsinθ*Ｅsinθ/R=Ｅ*Ｅ*（1/2）（1-cos2θ） ＝（Ｅ＾2/2）(1-cos2θ) 」　
参考まで

回答No.5

mmky

mmkyさんから
”＾”は一体どういう意味なんでしょうか？ (＾2)二乗という意味です。

[オシロスコープで正弦波の最大電圧を求めたのですが、実行値に変換する際に√２で測定電圧を割らなければならないのはなぜなんでしょうか？ ]

これはね。電力に直すときに便利だからなのです。正弦波電圧(Esinθ)を抵抗(R)に印加すると電流も正弦電流になるので、電圧と電流を掛けた電力（ワット）を
考えると　簡単には、Ｅsinθ*Ｅsinθ/R=Ｅ*Ｅ/2（1-sinθ*sinθ）
＝Ｅ＾2/2(1-cos2θ) 　有効電力はＥ＾2/2　なので電圧をＥ/√2 で割っておけばそのまま電力計算できるのです。これを実効値というのですね。

「同様に矩形波の測定値を実効値に変換するときにはなぜそのままの測定値の値で実効値となるのでしょうか？」

矩形波は電圧と電流を掛けたものがそのまま電力になるので、正弦波でいう実効値という意味になりますね。

参考になる？

お礼

有難うございます。”＾”は指数を表すわけですね。
参考になりました。

回答No.4

inazu

実効値は，一般に瞬時値の2乗を半周期にわたって平均し，その平方根で表します。
瞬時値：ｖ= Vm*sin(ωt)　　　Vm:最大値
計算を簡単にするため，ωt=Tとおくと，実効値は以下の式で表せます。
実効値V=√{(1/π)*∫(Vm^2*sin^2TdT)}
この式を計算すると，v=Vm/√2と出てきます。よって，最大値の1/√2倍になります。
矩形波の場合は，半周期における瞬時値は，v=Vmですので，
実効値V=√{(1/π)*∫(Vm^2dT)}
　　　 =Vm
となります。これらの式の積分範囲は，置換をしたことにより0～πです。
もしも計算の途中かが必要でしたら補足します。
その他の波形(例えば，のこぎり波など)も同様に瞬時値の関数さえ分かれば実効値を計算できます。

補足

回答有難うございます。
式の途中にある”＾”は一体どういう意味なんでしょうか？
できれば、途中式も書いていただけるとありがたいです。

回答No.3

denden_kei

>実行値に変換する際に√２で測定電圧を割らなければならないのはなぜなんでしょうか？

正弦波の場合、最大値電圧は実効値の√2倍です。

抵抗Rに交流電圧V=VoSinωtを印加した場合の平均消費電力Pを計算すると、
瞬時電力E=V^2/R,P=∫E dt=...=Vo^2/2R

となります。ここでVoは最大電圧なので、この(1/2)^0.5=1/√2倍の電圧で呼ぶことにすると、DC100VとAC100V時の抵抗消費電力が同じとなって計算に便利です。

ただし、回路によっては最大値電圧が関係するものもあるので注意が必要です。特殊な整流回路(平滑C容量に対して無負荷に近い領域で動作させる場合)など。

＞同様に矩形波の測定値を実効値に変換するときにはなぜそのままの測定値の値で実効値となるのでしょうか？

同様に消費電力を計算すると、波高値Vの矩形波電力は単純にV^2/Rになるので。

ご参考になれば幸いです。

お礼

有難うございました。参考になりました。

回答No.2

nubou

周期Ｔ（＞０）の周期関数ｘ（ｔ）の実行値は
√（∫（０≦ｔ＜Ｔ）ｄｔ・ｘ（ｔ）＾２）／Ｔ
です
正弦波
ｘ（ｔ）＝Ａ・ｓｉｎ（２・π・ｔ／Ｔ＋θ）
として上の式で実効値を計算してみてください
方形波
ｘ（ｔ）＝Ａ　（ｎ・Ｔ＋θ＜ｔ＜ｎ・Ｔ＋Ｔ／２＋θ）
ｘ（ｔ）＝－Ａ　（ｎ・Ｔ＋Ｔ／２＋θ＜ｔ＜ｎ・Ｔ＋Ｔ＋θ）
ただしｎは整数
についてはすぐに積分できるでしょう

お礼

式を用いての説明有難うございました。
参考になりました。

回答No.1

old98er

正弦波の形を、よく見てください。
山の形になっていますね。
つまり、電圧が最大の所と最低の所と、変化しているわけです。
ですから、最大の所だけ測定しても、それではもっと低い所の部分が計算に入らなくなります。
高い所と低い所をならした、全体としての電圧は実効値でピークの１／ルート２というわけです。

矩形波の場合も、波の形を見ればわかると思います。
電圧は、いつも同じですよね？
マイナス側に振れても、同じ電圧の振れです。
交流の実効値の場合にはマイナス側もプラス側と同じと考えるので、結局電圧はいつも同じ高さとなります。
それで、その高さがそのまま実効値になるわけです。

お礼

有難うございました。参考になりました。