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微分方程式なんですけど…???

微分方程式で y' = dy/dx とします。 y' + y*sinx = y^2*sinx とsinが入ると頭がパニックに… 詳しい計算の方法を教えてください。 どなたかアドバイスをよろしくお願いします。

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  • inazu
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考え方としては変数分離形を利用します。 y'=y(y-1)*sinx 変数を分離するため両辺をy(y-1)でわる。 1/(y(y-1))*(dy/dx)=sinx  両辺をxで積分する. ∫1/(y(y-1))*(dy/dx)*dx = ∫sinx*dx ∫1/(y(y-1))*dy = ∫sinx*dx  …変数分離になりました(左辺はyのみ,右辺はxのみ) 1/(y(y-1)) = 1/(y-1) - 1/y であるから(部分分数にする) ∫{1/(y-1)-1/y}*dy = ∫sinx*dx log|y-1| - log|y| = -cosx + C (C:積分定数) log|y| - log|y-1| = cosx + C …-C=Cと置いています log|y/(y-1)| = cosx + C 指数対数変換より y/(y-1) = ±exp(cosx+C) …絶対値なので±を忘れずに y/(y-1) = ±exp(C)*exp(cosx) …単なる指数法則 y/(y-1) = C*exp(cosx) …±exp(C)=Cと置いています y = (y-1)*C*exp(cosx) (1-C*exp(cosx))y = -C*exp(cosx) よって,y=C*exp(cosx)/(C*exp(cosx)-1) このように変数分離形の問題としてとけます。途中定数はとにかくCと置き換えていくことだけは気をつけましょう.

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y'以外の項をまとめます→y'+y*(1-y)*sinx=0 全体をy*(1-y)で割ります→y'/y/(1-y)+sinx=0 前半を分数の和に直します→y'/y+y'/(1-y)+sinx=0 全体をxで積分します→log(y)-log(1-y)-cosx+C=0:Cは定数 logの和は中味の積ですから→log(y/(1-y))-cosx+C=0 -cosx+Cを右辺に移します→log(y/(1-y))=cosx-C logとexpの関係から→y/(1-y)=exp(cosx-C) 左辺を書きかえると→1/(1-y)-1=exp(cosx-C) ここまで来たらあとはできますね→y=1-1/(C1*exp(cosx)+1) です ただしexp(C)をC1で書き換えました。

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