• ベストアンサー

全単射を具体的に作れますか？

(0,1)と[1,∞)はともに連続体濃度なので、理論的には全単射が存在するのは明らかですが、具体的に構成することはできますか？ (0,1)と(1,∞)などなら簡単な連続関数f(x)=1/xで実現できますが、これらの区間が同相でないため、連続関数での例は作れません。どうしても1点が邪魔になってうまく構成できません。よろしくお願いします。

  • adinat
  • お礼率78% (245/312)

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
noname#62967
noname#62967
回答No.1

単純にg:[1,∞)→(1,∞)を g(x)=x+1 if x∈N g(x)=x otherwise で定義するのではダメですか？

adinat
質問者

お礼

おおお、綺麗です。ありがとうございました。多謝。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 写像の単射と全単射

    写像の定義に関して本で 単射: 任意のyに対して、xに関する方程式f(x)=yの解xが一意的 全射: 任意のyに対して、xに関する方程式f(x)=yの解xが存在 全単射: 任意のyに対して、xに関する方程式f(x)=yの解xが一意的に存在 という説明がありました。 単射であって全単射でない場合はあるのでしょうか？具体例を教えて いただければと思います。

  • 連続単射

    いかにも大学教養レベルの位相の問題なんですが、少し混乱してしまっています。どなたかご教示いただけたらと思います。 R^n→R^mへの連続単射fがあったとします。疑問点は三つです。 (i)m≧nか？像f(R^n)に制限すれば連続全単射になります。したがって局所コンパクトからハウスドルフへの連続全単射が存在することになって、局所同相ですが、m<nならそれは位相的にあり得ないように思います。この論証は正しいですか。 (ii)上のことが正しいとして、m≧nを仮定します。一般にfは閉写像ではないと思います。たとえばm=n=1ならf(x)=e^xとおけば、閉集合Rを開集合(0,∞)にうつすからです。一般のm,nではこれも少し自信がありません。閉写像にならない反例は常にあげられるでしょうか。 (iii)またm>nなら単純な埋め込みf(x)→(x,0)(残りの成分を0とおく)、を考えれば、開写像でないのは明らかですが、ではn=mのときはどうか。これがいちばん知りたいことですが、たとえばn=m=1のとき、R上の連続単射を考えていることになって、fは狭義単調。したがって逆もまたそうであって、像に制限すれば同相です。特にR上の単調関数は開区間を開区間にうつします。問題はn=m>1のときで、これもやはり開写像になるのでしょうか。局所同相がきちんと言えると示せなくもないような気がするのですが、困っています。

  • Banach空間で

    ２つの同値でないノルムを持つベクトル空間がそれぞれのノルムに関して完備であるものをＸとします。このような例として例えば数列空間l_2(N)＝Ｘを考えます。ＸにおけるHamel基底の濃度は連続体濃度で、一方l_1(N)におけるHamel基底の濃度も連続体濃度、したがって両者の間には全単射が存在しそれによってＸ上にl_1ノルムも定義できて明らかに完備になります（ここで当然選択公理は仮定しますが連続体仮説は仮定しません）。ところがこのような構成は全く具体的ではなくl_2ノルムは定義より明らかですがl_1ノルムを計算することは容易ではないように思われます。すなわち基底間の全単射の一つを決定しなければならないわけです。２つのノルムを具体的に計算できるBanach空間の例はあるでしょうか？あるいは上に挙げた例で例えば(1/n)∈Ｘのl_1ノルムも計算できる方法はあるのでしょうか？

  • 具体例教えてください。

    今日学校でユークリッド幾何についてやったのですが、その中で 「∃f'(x)があっても 　　　　f'(x):R→Rは連続関数とは限らない」 という注意があったのですが、具体的な関数がないといまいち理解できません。 具体例を何か教えていただけませんか？

  • 同相写像であることの証明

    次の関数fが同相写像であること、すなわちfが全単射で連続、かつf^-1が連続であることを示したいのですが主に２つの関数の連続性が証明できず困っています。ご教授いただければ幸いです。 f: z∈{z∈C:|Im(z)|＜π} → e^z∈C \(-∞,0)

  • 位相幾何学に関連した証明問題です。

    X,Yを２つの位相空間とする。 写像f：X→Yが全単射で、連続であるとき、fが同相写像となるためには、fが開写像(または閉写像)となることが必要十分である。 これを示せ。 詳しい証明お願いします。

  • "無理数全体の集合から実数全体への全単射が存在する"の証明の説明をお願いします。

    次の問題の解答で分からないところがあるので説明をしてもらいたいです。 問:　無理数全体の集合からRへの全単射が存在することを証明せよ 解:　R－Q から R への全単射の存在を示せばよい R－Q は無限集合であるから、可算部分集合 A が存在する ここで Q は可算集合なので、A∪Q は可算集合 よって全単射 f: A→A∪Q が存在するので 関数 g:R－Q →Rを 　　　　g(x)＝ { x (x∈R－A) 　　　　　　　　〔 f(x) (x∈A) と定義すると g は全単射である ■ 最後のところで、なぜgを上のように定義すると全単射になるのかがわかりません。 よろしくおねがいします。

  • 位相空間の同相について

    位相空間(X,Ox)と(Y,Oy)で、全単射f:X→Yに対して、ｆおよび逆写像f^(-1)がともに連続であるときｆを位相写像といい、f:X→Yなる位相写像が存在するとき、(X,Ox)と(Y,Oy)は同相（同位相）であるというのでした。 位相空間（X,Ox）に対し、直積空間X×Xに適当な位相O’を入れたとき、 （X×X , O'）と元の位相空間（X,Ox)は同相ではないと思うのですが、証明はどのようにしたらいいでしょうか。 位相写像が存在しない、ということを言えばいいと思いますが、存在しない、ということをどのように示したらいいのかがわかりません。 よろしくお願いします。

  • y=tan(x)以外で区間(-1,1)で微分可能なシンプルな関数ってありますか?

    こんにちは。 y=tan(x)以外で区間(-1,1)で微分可能な よりシンプルな関数ってありますか? tan(x)は定義自体が複雑なので全単射とかの証明になると大変そうです。 できればxの多項式になっているようなものを探しています。 (全単射、連続、微分可能を簡単に示せるような関数) できるだけたくさんご紹介いただけると幸いでございます。

  • 写像が全単射となるための必要条件

    写像ｆ：Ｒ＾2→Ｒ＾2，ｆ(x,y)＝(ax+by,cx+dy)が全単射となるときの必要十分条件を求めたいです。（ただし、a,b,c,d∈Ｒとする。） たしか、全単射の必要十分条件は、「逆写像が存在する」だったと思うのですが、それは、Ｒ→Ｒのときだけなのでしょうか、ぜんぜん、関係ないかもしれませんが。 よろしくご教授ください。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する