サバテサイクル

質問

サバテサイクルの熱効率の導出ができません。
それらしい形になってはきたのですが、どうしてもできません。

導出過程を教えていただけませんか？

回答No.1

mathstudy

サバテサイクルの各状態を次のようにおきます。
1→2：断熱圧縮
2→3：等容燃焼
3→4：等圧燃焼
4→5：断熱膨張
5→1：等容変化
各温度、容量、圧力をT,V,Pとし各状態の場合はその添え字をつける。
2→3：等容燃焼のとき給熱量をQ1、3→4：等圧燃焼のときの給熱量をQ1'
5→1：等容変化の放熱量をQ2とおく、ガスの質量をm、等容比熱をcv
等圧比熱をcpとする。比熱比をkとする。
Q1=Q1+Q1'=mcv(T3-T2)+mcp(T4-T3)、Q2=mcv(T5-T1)
理論熱効率をηthとすると次のようになる。
ηth=1-Q2/Q1=1-(T5-T1)/{(T3-T2)＋(T3-T2)+k(T4-T3)}
次に各温度を求める。
1→2：断熱圧縮よりT1V1^(k-1)=T2V2^(k-1)よってT2=T1ε^(k-1)、ただしε=V1/V2
2→3：等容燃焼よりT2/P2=T3/P3よってT3=T2(P3/P2)={T1ε^(k-1)}(P3/P2)={T1ε^(k-1)}ζ、ただしζ=P3/P2
3→4：等圧燃焼よりT3/V3=T4/V4よってT4=T3(V4/V3)={T1ε^(k-1)}ζρ、ただしρ=V4/V3
4→5：断熱膨張よりT4V4^(k-1)=T5V5^(k-1)よってT5=T4(V4/V5)^(k-1)
=T4{(V4/V3)^(k-1)}{(V3/V5)^(k-1)}={T1ε^(k-1)}ζρ×{ρ^(k-1)}/ε^(k-1)=T1ζρ^k
※ここで図にサバテサイクルを描くと分かるとおり、ε=V1/V2=V3/V5（またはV2=V3,V1=V5)
以上よりηth=1-(T5-T1)/{(T3-T2)＋(T3-T2)+k(T4-T3)}に上で求めた各温度を代入すると
ηth=1-T1(ζρ^k-1)/{[T1ε^(k-1)](ζ-1)+k[ζT1ε^(k-1)](ρ-1)}
=1-{1/ε^(k-1)}×{(ζρ^k-1)/[(ζ-1)+k(ρ-1)]}