電場を求める問題

質問

電磁気の問題でどうしてもわからないものがあるので質問させてください。
半径ｒの原点を中心としたｚ軸に垂直な円盤が面電荷Ｑで帯電していて、このときのＥzをもとめよ。
という問題です。
自分では、微小領域がｄｓ＝ｒ×ｄｒｄθであるから、
Eｒ＝1/4πε∫(0→R)∫(0→2π)　QZ/(Z＾2＋r＾2)＾(3/2)ｄθ
と式を立てました。しかし、どうしてもこの式が解けません!
よければ途中計算を教えていただけないでしょうか？
似たような質問はあるのですが、途中計算などはなくこたえしか載っていないため困っています。また、たてた式も自信がありません。
よければおしえてください。お願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

> 半径ｒの原点を中心としたｚ軸に垂直な円盤が面電荷Ｑで帯電していて、このときのＥzをもとめよ。

あとの式を見ると，半径は R ですか？
それで，Ｑは単位面積あたりの電荷で，z 軸上の電場(z 方向を向いている)を求める，ということですよね．

(1)　　Eｒ＝1/4πε∫(0→R)∫(0→2π)　QZ/(Z＾2＋r＾2)＾(3/2)ｄθ
で，左辺は E_z のつもりですか．
それから，r dr が抜けていますね．
そこだけ直せば，式は合っています．
この積分は簡単でしょう．
θに関する積分は被積分関数にθが含まれないから，2πを掛けるだけ．
r に関する積分は r^2=t とでもおけばすぐにできます．

あとは z の正負に注意というところでしょうか．
まあ，|z| が同じなら電場の大きさが同じなの(方向は逆)は自明ですから，
z>0 としておいてあとで z<0 に拡張すればいいわけですが．

それから，
z/R→0 とすると無限に広い平面電荷の場合の式になり，
z/R→∞ とすると点電荷の式になる，
というあたりも当然気がつかないといけないとところです．