三角形の３辺から垂線の距離を求めるには？

質問

三角形の３辺(a.b.c)から垂線の距離を求めるには？

回答No.6

mmky

蛇足ですが、参考まで
常識的な（三角定規のような）三角形の各辺の頂点からの対向辺への垂線の
長さは、３辺(a.b.c)とすれば、各二辺に挟まれた角度がわかれば求まります。二辺に挟まれた角度は、余弦定理を使って求めます。
（質問では、三角形の３辺(a.b.c)しか与えられていないということで）
余弦定理というのは、辺a.b ではさまれた角度をθab 、その対辺ｃとすると、c＾2=a＾2+b＾2-2abcos(θab)　 の関係があるというものです。
これから(θab) を求めるのです。
cos(θab)={(a＾2+b＾2)-c＾2}/2ab
(これは、＃2、＃３、＃５さんの回答にありますね。）
これから角度を求めると、（アークコサインの式を使います。エクセルにありますね。）
θab=cos-1{(a＾2+b＾2)-c＾2}/2ab
同様に、
θbc=cos-1{(b＾2+c＾2)-a＾2}/2bc
θca=cos-1{(a＾2+c＾2)-b＾2}/2ca
で各辺にはさまれた角度が算出できます。
この角度を用いれば、各垂線の長さLは、
頂点acからｂ：Lacb=asin(θab)
頂点abからｃ：Lacb=bsin(θbc)
頂点bcからa : Lacb=csin(θca)
で計算できます。（これをエクセルでやるということですね。）
ということで、参考まで

回答No.5

oshiete_goo

ヘロンの公式について

演習問題としてならば，参考書等でお調べください．
S＝(1/2)bcsinA
余弦定理より
cosA＝(b^2+c^2-a^2)/2bc
この２式から
S^2＝(1/4)b^2c^2(1-cos^2A)
を無理やり計算するなどして，因数分解していけば一応出来ます．

一方，幾何学的導出の参考URLです．
問題
http://www.mitene.or.jp/~tomo-s/heron/heron.html
解答
http://www.mitene.or.jp/~tomo-s/heron/heron10.html

回答No.4

eatern27

ヘロンの公式は

三辺の長さがa、b、cのときに
s＝(a＋b＋c)/2とすると
面積Ｓ＝√{s(s-a)(s-b)(s-c)}

という事です。(証明は自分で考えてください)

辺の値が綺麗じゃないとお勧めできない理由は
辺の値が汚いとsは当然汚くなります。すると、s,s-a,s-b,s-cは当然汚くなります。しかもそれら4つの積を取り、その後に√を取るのですから地獄ですね。
エクセルで計算させるのなら、問題はありません。

エクセルで処理するなら、三角不等式をお忘れなく。
|aーb|＜c＜a+b
を満たさなければ三角形を作りません。

回答No.3

fushigichan

こんにちは。
もしかして、それぞれの辺から垂線を引いて、それが
同じ長さになるときの垂線の長さを求める、という問題でしょうか。
（つまり、内接円の半径の長さ）

その場合は、三角形の面積をＳ，求める内接円の半径をｒとしますね。

まず、三角形の面積は、それぞれ、底辺がa,b,c,で高さがｒの３つの三角形に
分割できるので、S=a*r/2+b*r/2+c*r/2
S=(a+b+c)r/2　　　・・・・・・・・（１）
となります。また正弦定理より、
S=absinC/2 ともかけますね。

さらに、余弦定理から、
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab　　　・・・・・（２）
と、かけますので、角A,B,Cはどれも鋭角であることと
sin^C+cos^2C=1　　　・・・・・・・・（３）
という定理をつかって、三角形の面積を三辺だけであらわすことができますね。（２）を（３）に代入して求めましょう。
Sが求まれば、その値を（１）に代入することで、内接円の半径ｒが出ます。

問題がはっきり分からなかったので、これでいいでしょうか？
求めるものが違ったらまたお返事いただきたく思います。

回答No.2

oshiete_goo

もしも求めたいものが「それぞれの頂点から対辺への垂線の長さ」
であれば,
△ABCの面積Sを
1)ヘロンの公式(辺の値がきれいな時でないとあまり薦められない)
または
2)余弦定理でcosA → sinA → 面積S＝(1/2)bcsinA
で求めてから

面積S=(辺の長さa,b,c)×(それぞれに対応する高さ)／2

から高さとして求めるのでは?
何を求めるのか, また不明な点があればそれも補足ください.

お礼

皆様ご回答ありがとうございます。

　求めたいものは「それぞれの頂点から対辺への垂線の長さ」です（＾＾

　素人なので（＾＾；
　エクセルで処理したいのですが・・・

　３辺の距離から面積を出す式はヘロンの公式？
　辺の値がきれいな時でないとあまり薦められない？？？

　よろしくお願いします

回答No.1

eatern27

どこからどこへの垂線で
何と何の距離でしょうか?

もしかして垂線の長さですか?