座標変換について

質問

こんにちは
不変と共変が混同して、頭の中で整理出来ません。下記について教えて下さい。

質問１
ディラック方程式は、ローレンツ変換に対してそのままでは共変でないため、波動関数がローレンツ変換に対して共変や不変になるようなスピノルを取り入れています。ローレンツ変換に対して不変なスピノルをディラック方程式に作用させた場合、式全体はローレンツ変換に対して不変になるのでしょうか？それとも共変なのでしょうか？

質問２
具体的には
（１） 一般相対論は、一般座標変換に対して、共変or不変なのでしょうか？
（２） 一般相対論は、局所ローレンツ変換に対して、共変or不変なのでしょうか？
（３） ディラック方程式は、局所ローレンツ変換に対して、共変or不変なのでしょうか？
（４） ディラック方程式に４脚場を取り入れたスピノルを作用させると、一般座標変換に対して、共変or不変なのでしょうか？

回答No.2

noname#221368

質問1，2に関して、具体的にはわかりません。また門外漢なので、共変or不変？の質問の目的もわかりません。

　私が知っている共変，不変の違いは以下のようになります（たぶん、ゴールドスタインで読みました）。

共変：
　変換に関して、「式の」形が変わらない事。

　例：ニュートンの運動方程式は、座標系の回転に関して共変．
　　F＝ma，Ａ：回転行列
　　ＡF＝mＡa
　　ここで、ＡF＝F’，Ａa＝a’とすれば、
　　　F’＝ma’
　　ではあるが、F’≠F，a’≠a．

不変：
　変換に関して、「式の」値も変わらない事。

　例：古典力学の力学的エネルギーは、平行移動に関して不変．
　　Ｅ＝1/2×mv^2＋Ｕ(|r2－r1|)．
　　vは位置の微分なので、平行移動の差はおちる．
　　r2，r1は質点の位置ベクトルで、Ｕはポテンシャル．
　　平行移動しても、|r2－r1|は不変．
　　従って、Ｅ不変．

　私には、このへんが限界ですが、質問の意図を明確にした方が、応えが付きやすいと思います。

＞不変なら共変？
　そうだと思います。

回答No.1

noname#221368

ご質問の領域の内容の詳細に関しては、私は答えられません。でもまず、確認事項として、共変と不変の違いはご存知でしょうか？。ここがはっきりしないので、応えが付いてない気がします。というのは、ものの本によっては、共変も不変と書いてある場合が、あり得るからです。

お礼

書いて気づきましたが、共変＜不変なので、不変でありうる場合は、常に「共変」なので、よくわからない場合は、「共変」にしておけば、取り敢えず、間違いでは無いのでしょうか？

補足

お返事有り難う御座います。
＞確認事項として、共変と不変の違いはご存知でしょうか？
たぶん座標系に依存しない変換が「共変」であり、反変ベクトルと共変ベクトル等を縮約したものが座標変換に対して変換するのが「不変」だと思います。
＞ものの本によっては、共変も不変と書いてある場合が、あり得るからです。
ということは、取り敢えず、はっきりしない場合は、「不変」にしておけばＯＫなのでしょうか？