2次関数

質問

[１]放物線y=x^2上に異なる４点A(-1,1)B(2,4),P(p,p^2),Q(q,q^2)がある。
-1<p<2のとき次の問いに答えなさい

(1)ΔABPの面積をｐの式で表しなさい。

(2)２点Ｐ，Ｑは直線y=3x+a上にあり、ΔＡＢＰとΔＡＢＱの面積が等しい。
(i)点Ｑは直線ＡＢに関して点Ｐと同じ測にないなぜか。
(i)を証明するためには背理法を使うことはわかるのですが、実際にそのような背理法を使う問題を見たことがないのでよくわかりません。助けてください

(ii)a,p,qの値を求めなさい

回答No.1

kumipapa

(1)
△ABPの面積の求め方はいくつかあるだろうが・・・
直線 ax + by + c = 0 と点(α, β) との距離が |aα + bβ + c|/√(a^2 + b^2) で与えられることを利用する。
辺ＡＢは直線 y = x + 2 (y - x - 2 = 0)　上の点であり、AB = 3√2
点Ｐ(p, p^2) と直線 y - x - 2 = 0 との距離は　|p^2 - p - 2|/√2 だから、
△ABP = (1/2) (3√2)|p^2 - p - 2|/√2 = (3/2) |p^2 - p - 2|
ここで、-1 ＜ p ＜ 2 だから p^2 - p - 2 ＜ 0
故に
△ABP = - (3/2) (p^2 - p - 2)
他の求め方でも良いだろうが、(2)(i)の問題を考えると、こう考えるのが良いだろう。

(2)
(i) 質問者さんが他の質問で述べた通り。
△ABP = (3/2) |p^2 - p - 2| = - (3/2) (p^2 - p - 2)　（-1＜p＜2）
であるが、絶対値記号の中が負になるのは、点Ｐ(p,p^2)が y - x - 2＜0 の領域（つまり直線 y - x - 2 = 0 の下側）にあるから。点Ｑ(q,q^2) についても、△ABPと全く同様に
△ABQ = (3/2) |q^2 - q - 2|
であるが、点Ｑが点Ｐと同じ側、即ち y - x - 2 ＜ 0 の側にあるならば
△ABQ = - (3/2) (q^2 - q - 2)
△ABP = △ABQ より
- (3/2) (p^2 - p - 2) = - (3/2) (q^2 - q - 2)
(p - q)(1 - p - q) = 0
点Ｐと点Ｑは異なる点だから p ≠ q で 1 - p - q = 0 (⇔ p + q = 1)
このとき、PQの傾きが 3 であるから (p^2 - q^2)/(p - q) = 3 でなければならないが、(p^2 - q^2)/(p - q) = p + q = 1 であり矛盾
よって、点ＱはＰとは反対側にあって、
△ABQ = (3/2) (q^2 - q - 2)　　（マイナスが付かない）

(ii)
点Ｐ、Ｑは y = x^2 と y = 3x + a の交点
⇔　点Ｐ，Ｑの x 座標は x^2 = 3x + a の実数解
x^2 - 3x - a = 0 ・・・ (Ｉ）
の２つの実数解が p ,q であることと解と係数の関係より
p + q = 3
q = 3 - p
ここで △ABP = △ABQ より
-(p^2 - p - 2) = q^2 - q - 2
-p^2 + p - 2 = (3 - p)^2 - (3 - p) - 2
これを解くと
p = (3 ± √5)/2
-1 ＜ p ＜ 2 より
p = (3 - √5)/2 ,　q = (3 + √5)/2
また、（Ｉ）式の解と係数の関係から a = -pq = -1

計算間違いしているかも。自分で計算してみてください。