再)自己随伴写像の表現行列が対称行列とならない例は?

質問

http://okwave.jp/qa3969275.html

で質問した者です。
どこかのサイトで反例として基底がそれぞれ
{t(1,0),t(0,1)}と{t(1,1),t(1,0)} (tは転置行列を表す)
の時の表現行列が
1,1
1,-1
と
0,1
2,0
となり,後者の場合は対称行列にならないので
従って偽となっていたのですが、、、

御意見いただければ幸いでございます。　m(＿ ＿)m

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

前回の質問 (QNo.3969275) に回答した者です。
済みません。間違っていました。

線型写像の表現行列 (の各成分) は、基底に依存して決まるものです。
基底が正規直交系でなければ、自己随伴写像の表現行列が
自己随伴行列 (エルミート行列、対称行列) だとは言えないのでした。

前回の問題文に、ちゃんと
＞ γ={x1,x2,…,xn}は任意のVの基底とする。
と書いてありましたね。

写像の表現行列とは、列ベクトルに左からかける係数行列を指すものとし、
基底ベクトルの内積 <x_i, x_j> を第 j 行 i 列成分とする行列を G とします。

成分計算をしてみるとわかるのですが、表現行列 A を持つ線型写像が
自己随伴写像であるための条件は、A^* = G A (G^-1) です。ただし、
A^* は A の随伴行列 (転置共役行列) を、G^-1 は G の逆行列を表します。

基底 { x_i } が正規直交系であるときは、G が単位行列になりますから、
この条件は A^* = A、すなわち A がエルミート行列であることになります。
前回の回答に書いたのは、この話ですが、
基底が正規直交系ではないときには、これは言えません。
実際、今回の質問文に挙げられた反例も、
基底が正規直交でない場合に表現行列が非対称になっています。

お礼

遅くなりまして申し訳有りません。ご回答大変有難うございます。
偽だという事が判明致しまして安心しております。

所で質問なのですが
そもそも表現行列とはどのようにして求めるのでしょうか?
{v_1,v_2,…v_m},{w_1,w_2,…,w_n}を線形空間V,Wのそれぞれの基底,f:V→Wを線形写像とする時,
f(v_j)=Σ[i=1..n]a_ijw_i
で(a_ij)がfの表現行列というのが定義だと思いますが
これからどのようにして{t(1,0),t(0,1)},{t(1,1),t(1,0)}の表現行列がそれぞれ
1,1
1,-1
と
0,1
2,0
と知りうるのでしょうか?

補足

線形写像f:V→Wの表現行列をA_fとし,V,W夫々の基底
β={v_1,v_2,…,v_n},γ={w_1,w_2,…,w_m}とすれば基底β,γによるfの表現行列を
β[f]γと表記することにすれば
一般にはA_fとβ[f]γは異なる。

それで
基底{t(1,0),t(0,1)},{t(1,1),t(1,0)}を夫々β,γとすると
今回の例題は
1,1
1,-1
がたまたまA_fにもなっているしβ[f]βにもなっているという訳ですね(理由はβが
標準基底になっているため)。
そしてγ[f]γが
0,1
2,0
になっているのですね。

それでこの例のfは確かに自己随伴
∀x,y∈V,<f(x),y>=<x,f(y)>にはなっている。
(∵<A_fx,y>=<x,A_fy> (for ∀x,y∈V(={t(1,0),t(0,1)}))
しかしながらfのβによる表現行列β[f]βは対称行列になってはいるがfのγによる表現行列γ[f]γは対称行列になっていない。
よってfが自己随伴だからといってfの任意の基底による表現行列が対称行列になるとは必ずしも言えない
訳ですね。