高校数学の三角関数の問題

質問

α>0,β>0,γ>0、α＋β＋γ＝πのもと
Ｆ＝cos2α＋cos2β＋cos2γの最小値を求めるという問題なんですが、
αを固定して状態で和積をして
Ｆ=cos2α-2cosα*cos(β-γ)にしたあとからつまってしまいました。

回答では0<α<π/2とπ/2<α<πのときで場合分けをしているのですが、なぜ場合分けをするのかよくわかりません…

お願いします。

回答No.3

take_5 · ベストアンサー

例によって訂正。。。。。。。笑

＞｜cos(β-γ)｜≦1だから、cos(β-γ)の一次関数と考えれば、それの係数であるcosαの正負（つまり、0<α<π/2とπ/2<α<π）で場合わけが必要なのは当然だろう。それによって、当然にも最大値と最小値が異なってくる。

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-1＜cos(β-γ)≦1だから、cos(β-γ)の一次関数と考えれば、それの係数であるcosαの正負（つまり、0<α<π/2とπ/2<α<π）で場合わけが必要なのは当然だろう。それによって、当然にも最小値が異なってくる。

お礼

回答ありがとうございました。

そういわれれば当然ですね・・・

回答No.2

bbbbcc

最後の式ですが、変数がαβγの三つあります。
基本的に変数に束縛条件（α＋β＋γ＝π）がついてるなら、
変数をへらすべきです。
そしてなぜ最初に和積の公式を使ったのかを良く考えれば、
次の式変形も可能だと思います。
よく考えてください。

お礼

回答ありがとうございます。
和積を使ったのはα＋β＋γ＝πを使って文字数を減らしたかったからなのですが…

回答No.1

take_5

＞αを固定して状態で和積をして、Ｆ=cos2α-2cosα*cos(β-γ)にしたあとからつまってしまいました。
＞回答では0<α<π/2とπ/2<α<πのときで場合分けをしているのですが、なぜ場合分けをするのかよくわかりません…

αを固定したという事は、この段階では　cosα　及び　cos2α　は定数だという事。
従って、この段階では、Ｆはcos(β-γ)の関数。
｜cos(β-γ)｜≦1だから、cos(β-γ)の一次関数と考えれば、それの係数であるcosαの正負（つまり、0<α<π/2とπ/2<α<π）で場合わけが必要なのは当然だろう。
それによって、当然にも最大値と最小値が異なってくる。