『点と直線の距離の公式』の図形的な意味は？

質問

よろしくお願いいたします。
数学を再度学んでいる者です。
数学マスターの方々には、初歩的過ぎる質問で大変恐縮ですが
ご教授いただけたら幸いです。

表題の通りなのですが、
点と点の距離の公式は図形的に三平方の定理で公式が理解できますが
点と距離の公式について図形的な証明というか把握の仕方はありますで
しょうか？

ご存知の方、ご教授よろしくお願いいたします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

三角形の面積で。
点Ｐ(x1,y1)から直線ax+by+c=0までの距離なら、
Ｐを通りｘ軸に平行な直線とax+by+c=0との交点はＱ(x2,y1)
Ｐを通りｙ軸に平行な直線とax+by+c=0との交点はＲ(x1,y2)
とできます。
△ＰＱＲの面積は、ＰＱを底辺、ＰＲを高さとしても、
ＱＲを底辺、求める距離(dとします)を高さとしても等しいから
ＰＱの長さ×ＰＲの長さ＝ＱＲの長さ×ｄ・・・☆
が成り立ちます。
・ＰＱの長さ＝|x1-x2|
・ＰＲの長さ＝|y1-y2|
・ＱＲの長さ＝√{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}
ここで、Ｑ，Ｒはax+by+c=0上の点なので
　ax2+by1+c=0、ax1+by2+c=0　が成り立ち
辺々ひけば、a(x1-x2)-b(y1-y2)=0
よって、(y1-y2)^2=(a^2/b^2)(x1-x2)^2だから
・ＱＲの長さ
　　＝√{(x1-x2)^2+(a^2/b^2)(x1-x2)^2}
　　＝√{(1+a^2/b^2)(x1-x2)^2}
　　＝|x1-x2|√(1+a^2/b^2)
すると☆より、
ｄ＝|x1-x2||y1-y2|/|x1-x2|√(1+a^2/b^2)
　＝|y1-y2|/√(1+a^2/b^2)
　y2=-(ax1+c)/b、√(1+a^2/b^2)=√(a^2+b^2)/|b|を入れて
　整理すれば
　＝|ax1+by1+c|/√(a^2+b^2)

となります。

お礼

なるほどー
ご回答ありがとうございました。
とてもわかりやすかったです。
疑問が晴れました。

回答No.4

take_5

＞の数学的証明を質問させていただいていました。

方法は幾つかあるが、一番基本的なのは、点Ｐ（α、β）を通って直線Ｌに垂直な直線の方程式を求めて、その2つの直線の方程式を連立して、点Ｑの座標を求めれば良い。

その後は、
＞点と点の距離の公式は図形的に三平方の定理で公式が理解できますが

自分で、こう言ってんだから。すぐわかるだろう。

お礼

たびたびご回答ありがとうございました。

面積やらベクトルやら点と直線の証明は
沢山あるんですねぇ

回答No.2

age_momo

点P(x0,y0)と直線L:ax+by+c=0の距離が

|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)

で示されることを言われていますか？
点Pから直線Lへ垂線を下ろした交点をH、点Pを通りy軸に平行な
線が直線Lと交わる点をQとします。PHが求める距離です。
点Q(x0,yq)のy座標がyq=y0+rと表される時
|ax0+by0+c|=|ax0+b(yq-r)+c|=|br|　(∵ax0+byq+c=0)
つまり|ax0+by0+c|はPQ(=|r|)の|b|倍です。(PQ=|ax0+by0+c|/|b|）
一方、三角形PQHは
PQ:QH:HP=√(a^2+b^2):|a|:|b|
の直角三角形です。よって

PQ:HP=|ax0+by0+c|/|b|:HP=√(a^2+b^2):|b|
HP=|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)

となります。

お礼

ご回答ありがとうございました。
なかなか簡単に見えてやっかいなんですね。
良くわかりまし。

回答No.1

take_5

質問の意図がわからないが。

＞点と距離の公式について図形的な証明というか把握の仕方はありますでしょうか？

点Ｐ（α、β）の直線Ｌ：ax＋by＋c＝0（aとbは同時に0とはならない）との距離とは、点Ｐ（α、β）を通って直線Ｌに垂直な直線が直線Ｌと交わる点をＱとする時、点Ｐと点Ｑとの距離を言う。

補足

語力がなくてすいません。
No2の方が解説してくださっているような

＞点Ｐ（α、β）の直線Ｌ：ax＋by＋c＝0（aとbは同時に0とはならない）
＞との距離とは、点Ｐ（α、β）を通って直線Ｌに垂直な直線が直線Ｌ
＞と交わる点をＱとする時、点Ｐと点Ｑとの距離を言う

の数学的証明を質問させていただいていました。