1/(aω+b)の有理化

質問

ω={-1+(√3)i} / 2
とします。
このとき、
1 / (aω+b)
の有理化、つまり、ωの分数式をωの整式に変形するにはどうしたらよいのでしょうか？

もし、できれば一般理論があればご教示ください。

回答No.3

Tacosan

f(x) = (ax+b)P(x) + c とすると
1 = f(x)/c - (ax+b)[P(x)/c].
ここで x = ω が f(x) = 0 の解とすると
1 = -(aω+b)[P(ω)/c], いいかえれば
1/(aω+b) = -P(ω)/c.

回答No.1

koko_u_

aω+b の共役複素数を分母と分子にかけ算すればいいのでは？
整式には大抵ならんけど。

お礼

共役「複素数」ではなく、

ωを解とする有理数係数の最小多項式は、
x^2+x+1=0
なので、そのもう一つの解ω^2を「共役な代数的数」と考えたいのですが。

補足

あ、
1 / (aω+b)
=(aω^2+b) / (aω+b)(aω^2+b)
=(-aω-a+b) / {a^2ω^3+(ω+ω^2)ab+b^2}
=(-aω-a+b) / {a^2-ab+b^2}
になるのでしょうか。

今回の場合は、「共役な代数的数」ω^2がすぐに分かりましたが、一般には「共役な代数的数」は具体的には求められないように思います。

そのときには、互除法による方法があると聞いたのですが、それでやるとどうなるのでしょうか。