表面張力による液体の状態の数式化

質問

表面張力による液体の状態の数式化を考えていて困っています。

今、垂直な壁の壁面上に水平方向に断面がV字状（開き角度をθとする）の細い溝があり、
この溝に水が溜まって（静止して）いる状態になっているとします。

恐らく、表面張力・毛細管力・水に働く重力・流体圧などがつり合っているため、
水は溝に溜まった状態で静止しているのだと思います。
このつり合った状態を数式化しようと思ったのですが水力学が得意でなく、教科書を読んでもよくわかりません。

このときの静止した状態は数式でどのように表されるのでしょうか？
おわかりの方、ご教授ください。

回答No.4

inara1 · ベストアンサー

＞grooved-wickのヒートパイプなるものがよくわからなかったので今調べたのですが、微細V溝に液体が溜まる、という点で私が考えている内容と同じだと思います
同じですね。

＞このときの液体と気体の間に出来るメニスカスは円と見なして良い、ということでしょうか？
最後に液面の曲率半径 R （メニスカスの半径）の計算式を書きましたが、液体が水の場合、R が 1mm 以下なら円とみなして構いません。

＞接触角やV溝の開き角で円弧の半径が変わるのでしょうね
変わります。式(1)がそれです。

＞垂直面に溝があった場合でも、重力の影響が小さいのでしょうか？
溝の幅が小さくて、液面の曲率半径 R が 1mm 以下なら、水面の形状は重力の影響を受けません。ただし、水がどこまで上るかは毛細管圧力で決まります。

半径が「毛管長」より小さい液滴は、重力よりも毛細管力が支配的になるので、表面の曲率半径は一定とみなせます。断面が三角形の流路内にある液体の表面形状は、曲率半径が毛管長よりも小さければ円筒形と近似できます。したがって流路の底（三角形の頂点）からの水面高さと水面の幅が分かれば、水面の曲率半径が分かり、その値から毛細管圧力が計算できます。

資料 [1] に毛管長の説明が出ています。テーブルに水をこぼしたとき、水溜り状になった部分の厚さは実は一定で、それが毛管長になります。毛管長は重力によって変わるのですが、地上の重力では 3mm 程度の厚さになります。microgroove を使ったヒートパイプの毛細管圧力を計算する論文ではほとんどこの近似（曲率一定）を使っています。

【三角形流路での液体の形状と毛細管圧力】
図がうまく書けないので言葉だけで表現しますが、断面が三角形で、その頂点が下方にある流路（Ｖ溝の開き角が 2*α ）に液体があるとき、液体の接触角を θ、流路の頂点（最下）から計った水面の最低点の高さを h [m]、水面の幅（左右の斜面との境界間の距離）を w [m] とすれば、水面の曲率半径 R [m] と h は
　　　R = W/{ 2*cos( α + θ ) } --- (1)
　　　h = W/{ 2*tan( α ) }
で表わされます（水面が円ならば簡単に導けるはずです）。α + θ = π/2 のとき R = ∞ となりますが、これは水面が平坦ということです（毛細管圧力はゼロ）。 R < 0 というのは、水面が上に凸（毛細管圧力が負）ということを表わしています。毛細管圧力 Pc [Pa] は
　　　Pc = σ/R
となります。σ は液体の表面張力 [N/m] です。水面が球ならば Pc = 2*σ/R ですが、この場合は円筒形なので 2 がつきません。

[1]　毛管長のお話（PDFファイル13ページ）　http://www.chemeng.titech.ac.jp/~mmasuko/japanese/lecture_jp/surface/surface_doc/SurfChem2_3.pdf

お礼

度々の回答と丁寧な説明、資料の情報をありがとうございました。

大変勉強になりました、参考にさせていただきます！

回答No.3

inara1

V字状の細い溝の幅は1mm未満ですか？
でしたら、Ｖ溝の軸方向で切った断面での水面の形状は円とみなせます。

ご質問は grooved-wick のヒートパイプでのメニスカス形状を知りたいということでしょうか？

補足

ご回答ありがとうございます。
>V字状の細い溝の幅は1mm未満ですか？
今考えているのは1mm未満です。

>ご質問は grooved-wick のヒートパイプでのメニスカス形状を知りたいということでしょうか？
実はそうなんです。状態の数式化ができれば、メニスカス形状を求められるのでは、と思ったのです。
#grooved-wickのヒートパイプなるものがよくわからなかったので今調べたのですが、
#微細V溝に液体が溜まる、という点で私が考えている内容と同じだと思います。
#ちょっと、最初の質問の仕方が悪かったですね・・・。

このときの液体と気体の間に出来るメニスカスは円と見なして良い、ということでしょうか？
（恐らく、接触角やV溝の開き角で円弧の半径が変わるのでしょうね）
垂直面に溝があった場合でも、重力の影響が小さいのでしょうか？

回答No.2

Rui-Costa

この場合, 液体にかかっている力は, 自重, 外気から受ける力(多分一気圧, 垂直方向の成分は無視して良いと思います), Ｖ字の溝から受ける力が上下二つ, 表面張力が上下二つの六つです.
この六つの中で値が定まらないものはＶ字の溝から受ける力だけなので, 力のつりあいから求めれば良いと思います.
Ｖ字の溝から受ける力は上下面に垂直な力で二つありますが, ＸＹ方向でわけて方程式を立てれば解けると思います.
表面張力は溝と液滴の付け根に, その点での液滴の接線方向にかかります. 大きさは周りが空気で液体が水の場合0.0728[N/m]です.
単位が[N/m]なので, 溝と液体が接触している部分の長さをかけなければいけないのですが, この場合単位厚さの壁を考えていると思うのでそのまま使ってください.

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
溝から受ける力は見落としていました（これがなければ溝にめり込んでしまいますよね(^_^;)）。
また、表面張力の作用をどう扱うかがよくわからなかったのですが、だいぶすっきりしました。
教科書で言ってることもなんとなくわかりはじめました。

あとは自分で考えてみます、ありがとうございました。

回答No.1

N64

静止しているのですから、
水力学は関係ないのではないでしょうか。
ただ、力のつり合いだけを考えればよいのでは
ないでしょうか。

お礼

ご意見ありがとうございます。

確かに力のつり合いだとは思うのですが、流体が静止状態だったので静水力学（流体静力学）の範疇かな、と思ったのです。
（そこら辺が理解できていないから私は水力学が苦手なのかもしれません）