ベクトル空間の定義の独立性（大学一年前期に僕が数学に挫折した問題）

質問

僕は、落ちこぼれながらも大学院数学科を１０年前に卒業した者です。
数学というものは、定義に基づいて、理論を厳密に積み上げていく学問で、ゼミのときには、理論の細かい点を担当教官に突っ込まれてきました。
しかし思えば、僕は大学一年で、線型代数を習ったときに、ある疑問にぶつかり、解決できずに今の今まできてしまいました。
数学の理論という階段の一歩目でつまずいたままです。

ベクトル空間の定義を、とりあえずここでは次のようなものとします。
体 K と、加法に関してアーベル群をなす V がある。
任意のスカラー c ∈ K、ベクトル v ∈ V に対してスカラー倍 cv ∈ V が定義されて、次の４つの条件を満たすとき、V を K 上のベクトル空間という。
A1. (cd)v = c(dv) (for all v ∈ V and for all c, d ∈ K)。
A2. 1 を体の乗法に関する単位元とするとき 1v = v (for all v ∈ V)。
A3. c(v + w) = cv + cw (for all v, w ∈ V and for all c ∈ K)。
A4. (c + d)v = cv + dv (for all v ∈ V and for all c, d ∈ K)。

ここで、４つの条件に対して、真理値（成立する、もしくは、成立しない）を考えますと、合計2^4=16通りあります。
その具体例を考えるときに、(a)や(p)はよく知られていますが、それ以外の例が具体的に思いつかないので、教えていただければありがたいです。

(a)すべて成立しない
(b)A1だけが成立
(c)A2だけが成立
(d)A3だけが成立
(e)A4だけが成立
(f)A1,A2だけが成立
(g)A1,A3だけが成立
(h)A1,A4だけが成立
(i)A2,A3だけが成立
(j)A2,A4だけが成立
(k)A3,A4だけが成立
(l)A1,A2,A3だけが成立
(m)A1,A2,A4だけが成立
(n)A1,A3,A4だけが成立
(o)A2,A3,A4だけが成立
(p)全部成立

回答No.1

daiquiri

一般には写像 f:K×V→Vで
１～４の性質をもつfをスカラー倍とよびVはfによりベクトル空間をなす
ってことになりますよね。

つまり、写像 f:K×V→Vで(a)-(p)の性質を持つ実例を挙げれば良いのですよね。
(a,pは既知との事なので(b)～(o)までの例で十分ですね)

とはいえ独立性を考えるのなら、
１～４のそれぞれ一つが成立しない写像の例を考えれば十分ではないかと。