数Ａこの問題教えてください。

質問

なに条件かを問う問題です。
解説を見てもわからない箇所があるので教えてください。

p:a>0, 4b>a^2
q:放物線y=x^2+ax+bの頂点がx<0, y>0の範囲にある。

問題集、解説
x^2+ax+bの頂点の座標は、(-a/2, (4b-a^2)/4)
よってp ←→ q　は真。
ゆえに必要十分条件。

質問です
１）頂点の座標は-a/2と-がついているのでx<0と考えます。
でもこんな理由でx<0と決めつけていいのでしょうか？

２）(4b-a^2)/4についてはy>0というのがよくわからないのですが。

３）p ←→ q　は真ということですが、q → p　は真はわかるのですが、
p → qはわからないのです。

以上の解説を教えて頂けると助かります。
質問が多くて恐縮ですが、よろしくお願いします。

回答No.3

puni2 · ベストアンサー

あ，qの前半というのは
「放物線y=x^2+ax+bの頂点のx座標が負」
qの後半は
「放物線y=x^2+ax+bの頂点のy座標が正」
のことです。

回答No.2

puni2

ゆっくり考えてみましょう。

命題p:　a>0, 4b>a^2
命題q:　放物線y=x^2+ax+bの頂点がx<0, y>0の範囲にある。

まず，「x^2+ax+bの頂点の座標は、(-a/2, (4b-a^2)/4) 」という部分はおわかりですね？（平方完成すればすぐ出ます）

>１）頂点の座標は-a/2と-がついているのでx<0と考えます。
>でもこんな理由でx<0と決めつけていいのでしょうか？

「マイナスがついているから負」なのではなく，「もしpならば，a>0なので，頂点のx座標である-a/2は負」なのです。
また逆に，頂点のx座標が負ならば，それは-a/2<0ということですから，両辺を-2倍すればa>0になりますね。
よって，pの前半←→qの前半。

>２）(4b-a^2)/4についてはy>0というのがよくわからないのですが。
これも今と同様に考えます。
もしpならば，4b>a^2なので，移項して両辺を4で割ると(4b-a^2)/4>0
したがって頂点のy座標>0.
逆に，頂点のy座標が正なら，(4b-a^2)/4>0ということだから，4b>a^2。
よって，pの後半←→qの後半

>３）p ←→ q　は真ということですが、q → p　は真はわかるのですが、
>p → qはわからないのです。
上の説明でお分かりいただけたのではと思いますが…。
もっとも，「pの前半←→qの前半」かつ「pの後半←→qの後半」が示せても，一般的にはそれだけで「pの全体←→qの全体」が言えるわけではありません（前半と後半が同時になりたつためにはまた別の条件が必要だったりするような場合があるので）。ただ，本問の場合は「命題pの2つの式」をそのまま同値変形すると，それぞれ「命題qの2つの座標」になるので，特に別の条件が入る余地はなく，同値といっていいと思います。

うーん。どうもうまく説明できないなあ。おまけに数学は門外漢なので，何か間違いを犯しているかもしれません。一応参考程度に見てください。

お礼

＞うーん。どうもうまく説明できないなあ

いいえ。よ～くわかりました。すべて納得。問題解決しました。
門外漢の方なのにわかりやすく解説してくれるなんてすごいですね。

また投稿しますのでよろしくお願いします。

回答No.1

oshiete_goo

>q → p　は真はわかるのですが
すると，残りは全て
＞p → qはわからないのです
にあるようですが．そうでしょうか？

p:a>0, 4b>a^2
を仮定すると，頂点の座標(ｘ，ｙ)＝(-a/2, (4b-a^2)/4) であり，
ｘ＝-a/2＜０　(∵a>0)なので　ｘ＜０
また　4b>a^2　⇔　4b－a^2＞０　より Y=(4b-a^2)/4＞０

お礼

１）、２）の疑問解けました。ありがとうございます。
あと３）だけです。

＞すると，残りは全て

残りとはなんでしょうか？このへんに解くキーがあるんでしょうか？

＞ｘ＝-a/2＜０　(∵a>0)なので　ｘ＜０
＞また　4b>a^2　⇔　4b－a^2＞０　より Y=(4b-a^2)/4＞０

最後の行、「⇔」を使用してますね。
qをoshiete_gooさんの書いた
＞ｘ＝-a/2＜０　(∵a>0)なので　ｘ＜０
＞また　4b>a^2　
と考えてよいなら⇔となる意味が理解できそうです。