直列共振回路の問題で・・・

質問

Ｌ,Ｒ,Ｃ直列回路のインピーダンスＺは共振角周波数ｗ。
および、Ｑの定義式を使うと

　　　　　　　　　　　ｗ　　　　　ｗ。
ｚ＝Ｒ｛１＋ｊＱ（　━━━　－　━━━　）｝・・・・・・・・（１）
　　　　　　　　　　　ｗ。　　　　ｗ
　　　　　　　　　　　　　　 .
と表されるから、アドミタンス ｜Ｙ｜の大きさは

　. 　　　　　　　　　　　　　　　１
|Ｙ|＝━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━・・・（２）
　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　Ｒ　 /　　　2　　　ｗ　　　　　　ｗ。　　　　2　　
　　　　　　/ １＋Ｑ　（━━━　－　━━━　）　　　　　　　
　　　　　Ｖ　　　　　　　ｗ。　　　　　　ｗ

（１）、（２）の式を導出せよ。っていう問題があるんです。
どなたか出来る方いませんか？

どちらか片方だけでも大歓迎です！
よろしくお願いします。

回答No.6

nubou · ベストアンサー

ｚ＝Ｒ＋ｊ・ω・Ｌ＋１／ｊ／ω／Ｃ
ω０・Ｌ＝１／ω０／Ｃ
Ｑ＝ω０・Ｌ／Ｒ＝１／ω０／Ｃ／Ｒ
だから
ｚ＝Ｒ＋ｊ・ω・Ｌ＋１／ｊ／ω／Ｃ＝
Ｒ・（１＋ｊ・（ω・Ｌ／Ｒ－１／ω／Ｃ／Ｒ）＝
Ｒ・（１＋ｊ・（ω／ω０・ω０・Ｌ／Ｒ－ω０／ω／ω０／Ｃ／Ｒ））＝
Ｒ・（１＋ｊ・（ω／ω０・Ｑ－ω０／ω・Ｑ））＝
Ｒ・（１＋ｊ・Ｑ・（ω／ω０－ω０／ω））

実部＝ａ＝Ｒ
虚部＝ｂ＝Ｒ・Ｑ・（ω／ω０－ω０／ω）

回答No.7

mmky

蛇足ですが　補足説明します。
問1について
R、L、Cの直列回路ということですので、
このときのインピーダンスZは、L、Cが抵抗に対して±90度位相が変わる
ということで、Z=R+ｊ｛ωL－（1/ωC)}で表記できます。ここでｊは
数学上の虚数です。電気的には90度＝（π/2)を表現しています。
このインピーダンスに交流電圧または電流を印加し、周波数ωを変化
させると共振がおきます。そのときの条件は｛ωL－（1/ωC)}＝0
（だからωL＝（1/ωC)）です。つまり抵抗Rのみになったように見えます。
Q値は、Ql＝ωL/R　Qc＝1/RωC で定義されています。Q値は共振時に最大値
となり、そのとき、周波数ω0　Q値をQm としますと　
Qm=ω0L/R＝1/Rω0C　です。
以上が問題を考える条件になります。
Z=R+ｊ｛ωL－（1/ωC)}　まずこれをQ値であらわしてみます。
Q値の定義よりωL=RQl 1/ωC=RQc、共振時は、Qm=ω0L/R=1/Rω0C
ですから、
Z=R+ｊR｛Ql-Qc}=R{1+j｛Ql-Qc}}---（1）
また、共振時の、RQm=ω0L=1/ω0C を利用して、
少し操作すると、
RQl/RQm=(ωL/ω0L)＝(ω/ω0) から　Ql=Qm（ω/ω0）--(2)
RQｃ/RQm=(ω0C/ωC)＝(ω0/ω) から　Qｃ=Qm（ω0/ω）-(3)
(2),(3)を（1）に代入すると、
Z=R{1+j｛Ql-Qc}}=R{1+jQm｛（ω/ω0）-（ω0/ω）}
となります。Qmは共振周波数でのQ値です。Qm=Q　とすれば
問題1の答えになります。

問題2は、ベクトルを絶対値に直すだけですからピタゴラスですね。
問い1で簡単に説明しましたが、ｊというのは90度の位相を表しますので
ｊの部分がjの前の実数部と直行していると思えばOKです。だから
ピタゴラスの三角形の他の1辺は、と同じ問題です。
実際の値は、R√｛1＾2+｛Q｛（ω/ω0）-（ω0/ω）｝＾2
これがインピーダンスZの実数値です。
インピーダンスの逆数がアドミタンスですから、答えの通りですね。

ということで、理解できたかなあ？

回答No.5

nubou

ｚ＝ａ＋ｊ・ｂより｜ｚ｜＝√（ａ＾２＋ｂ＾２）はいいでしょうね？
ｚ・ｙ＝１はいいでしょうね？
従って｜ｚ｜・｜ｙ｜＝１はいいでしょうね？
従って｜ｙ｜＝１／｜ｚ｜はいいでしょうね？
従って｜ｙ｜＝１／√（ａ＾２＋ｂ＾２）はいいでしょうね？
ａ＝Ｒかつｂ＝Ｒ・Ｑ・（ω／ω０－ω０／ω）はいいでしょうね？
従って｜ｙ｜＝１／√（Ｒ＾２＋Ｒ＾２・Ｑ＾２・（ω／ω０－ω０／ω）＾２）
従って｜ｙ｜＝１／Ｒ／√（１＋Ｑ＾２・（（ω／ω０－ω０／ω）＾２）
　　　　　　　　　　　　（はいいでようね？）＾２

お礼

>ａ＝Ｒかつｂ＝Ｒ・Ｑ・（ω／ω０－ω０／ω）はいいでしょうね？
の一行がわかんないかもです・・・。
すみませんです。m（_　_）m

回答No.4

nubou

ｚ＝Ｒ＋ｊ・ω・Ｌ＋１／ｊ／ω／Ｃ
ですから
これをＱとω０によって表現すればいいのです
ω０・Ｌ＝１／ω０／Ｃであって
Ｑ＝ω０・Ｌ／Ｒ＝１／ω０／Ｃ／Ｒです
従って
ｚ＝Ｒ（１＋ｊ・Ｑ・（ω／ω０－ω０／ω））
です

お礼

すいません、「従って」の下からがまたもやわかんないです～。
ほんとにすみません！
どういう式変形をしたらそうなるんでしょうか？

回答No.3

admin_23

う～ん・・・、説明しても分からないと思うけど・・・。
ＬのインピーダンスはｊωＬ、Ｃのは１／ｊωＣ、ＲはＲ、っていうのは分かる？
それが分かれば直列回路なので、全部足し合わせると（１）のようになるよ。
Ｑの定義っていうのも回路の本を読めばＲＬＣ回路なので、必ず書いてあると思うので
それを使って表せば（１）のように書けるよ。

回答だけを知りたいと思わずに、勉強もしようね！

お礼

回答有難うございます！

ＬとＣのインピーダンス、一応わかります。
基本の基本ですからねぇ～。
Ｑの定義も横にある参考書に書いてますです。

（１）式の導出の仕方がイマイチわからんです～。(>_<)

すみません、もっと自分でも頑張ってみます～。

回答No.2

nubou

アドミッタンスは単なるインピーダンスの逆数だから
対応するインピーダンスを
ｚ＝ａ＋ｊ・ｂ
とすればアドミッタンスは
ｙ＝１／ｚ＝１／（ａ＋ｊ・ｂ）＝（ａ－ｊ・ｂ）／（ａ＾２＋ｂ＾２）
になります
だから
｜ｙ｜＝１／｜ｚ｜＝１／√（ａ＾２＋ｂ＾２）
になります
（ただしａ，ｂは実数）

回答No.1

nubou

アドミッタンスは単なるインピーダンスの逆数だから
対応するインピーダンスを
ｚ＝ａ＋ｊ・ｂ
とすればアドミッタンスは
ｙ＝１／ｚ＝１／（ａ＋ｊ・ｂ）＝（ａ－ｊ・ｂ）／（ａ＾２＋ｂ＾２）
になります
だから
｜ｙ｜＝１／｜ｚ｜＝１／（ａ＾２＋ｂ＾２）
になります
（ただしａ，ｂは実数）

お礼

回答ありがとうございます！

途中までは理解できたのですが、「だから」から下の文が理解できませんでした。
なぜ、
１／｜ｚ｜＝１／（ａ＾２＋ｂ＾２）
となるんでしょうか？
すみませんです。

あとこれは（２）式の導出なんでしょうか？